Mesure sigma-finie

Bonjour, je suis en M1 maths, je ne comprends pas la preuve de la proposition postée ci-dessous.

Sachant que dans mon cours une mesure $\mu$, définie sur un espace mesurable $(\Omega,\mathcal{F})$, sera dite $\sigma$-finie s'il existe $\{ A_{n}, n \ge 1 \} \subset\mathcal{F}$ telle que :
(i) $\bigcup_{1}^\infty A_{n} = \Omega$
(ii) $\mu(A_{n}) < \infty,\ \forall n \ge 1$

Proposition : $\mu$ étant $\sigma$-finie, $\mathcal{F}$ ne peut contenir une collection non dénombrable d'ensembles disjoints de mesures non nulle.

Voici la preuve, ci-dessous pourriez-vous me l'expliquer notamment la partie avec les card, et de plus il n'y a pas une erreur $\Theta_{n} = \bigcap_{k = 1}^\infty \Theta_{n}^k$.
Je vous remercie, Cordialement (finie < dénombrable < non dénombrable )

PS. J'ai essayé de joindre la photo de la preuve mais cela semble impossible sur ce forum c'est mon premier message.

Preuve : Soit $\{B_\theta , \theta \in \Theta\} \subset \mathcal{F}$ une collection d'ensembles disjoints, avec $\mu(B_{\theta}) > 0,\ \forall \theta \in \Theta$.

Étant donné $\{ A_{n},\ n \ge 1\} \subset \mathcal{F}$, avec $\bigcup_{1}^\infty A_{n} = \Omega$ et $\mu(A_{n}) < \infty,\ \forall n \ge 1$, on pose $\Theta_{n} = \{ \theta \in \Theta, \ \mu(A_{n} \cap B_{\theta}) > 0\}$.
$\Theta_{n} = \bigcup_{k = 1}^\infty \Theta_{n}^k$, avec $\Theta_{n}^k = \{ \theta \in \Theta, \ \mu(A_{n} \cap B_{\theta} > 1/k\}$.
Or $\mathrm{card}(\Theta_{n}^k) \le k \mu(A_{n})$. Donc $\Theta_{n}$ est au plus dénombrable, ainsi que $\Theta = \bigcup_{1}^\infty \Theta_{n}$.

[En $\LaTeX$, c'est toute l'expression mathématique que l'on encadre par des $\$$, pas seulement quelques termes. ;-) AD]