Un exercice donné à Ulm
Bonjour
L'exercice suivant a été donné à Ulm en 2015 :
Soient $(\Omega,\, \mathcal{A},\, P)$ un espace probabilisé et $A_1,\, \dots , \, A_n$ des événements. Pour $k\in 1,n$ on note $C_k$ l'événement "appartenir à $A_i$ pour au moins $k$ valeurs de l'indice $i$". Montrer que : $$
\prod_{k=1}^n P(C_k) \leqslant \prod_{k=1}^n P(A_k)
$$ Dans le rapport du jury (qui est en pièce jointe, voir page 6), il est question de l'idempotence d'une certaine opération. Je ne vois vraiment pas en quoi ça aide à résoudre l'exercice.
Merci d'avance pour vos réponses, Michal.
L'exercice suivant a été donné à Ulm en 2015 :
Soient $(\Omega,\, \mathcal{A},\, P)$ un espace probabilisé et $A_1,\, \dots , \, A_n$ des événements. Pour $k\in 1,n$ on note $C_k$ l'événement "appartenir à $A_i$ pour au moins $k$ valeurs de l'indice $i$". Montrer que : $$
\prod_{k=1}^n P(C_k) \leqslant \prod_{k=1}^n P(A_k)
$$ Dans le rapport du jury (qui est en pièce jointe, voir page 6), il est question de l'idempotence d'une certaine opération. Je ne vois vraiment pas en quoi ça aide à résoudre l'exercice.
Merci d'avance pour vos réponses, Michal.
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Réponses
cet exercice provient de la Miklós Schweitzer Competition 1968.
Il a aussi été proposé dans le Coin des Problèmes de Quadrature et une solution a été publiée dans le n°105, Juillet-Septembre 2017, p.47-49.
Compte-tenu des délais de publication, il est amusant de noter que l'idée d'utiliser cet énoncé a sans doute été prise au même moment à Ulm et pour la revue (coïncidence pure).
Pierre.
Est-ce que quelqu'un pourrait poster un scan ou au moins me donner les grandes étapes de la démonstration ?
Pierre.
Clairement, cet exercice ressortit à une préparation aux olympiades, type Animath, pas au programme de CPGE.