Bienaymé-Tchebychev (+ Cesaro ?)
Bonjour
Posé semble-t-il à CCP l'an dernier (source officiel de la taupe).
$n$ variables aléatoires indépendantes $X_n$ suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p_n\in\,]0,1[$ et : $$\lim_{n\to+\infty}\frac1{n}\sum_{i=1}^np_i=p
$$ Montrer que $$\lim_{n\to+\infty}P\left(\left|\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-p\right|>\varepsilon\right)=0
$$ L'énoncé est un peu chaotique, ne mentionne pas $\varepsilon$, j'imagine : $\forall\varepsilon>0$...
J'ai un peu de mal à organiser une rédaction... et même à démarrer.
Je pensais à un mélange Césaro + Bienaymé-Tchebychev.
Mais en saisissant l'énoncé, je me demande si ce n'est pas seulement du Césaro à adapter...
Merci de toute suggestion.
Posé semble-t-il à CCP l'an dernier (source officiel de la taupe).
$n$ variables aléatoires indépendantes $X_n$ suivent chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p_n\in\,]0,1[$ et : $$\lim_{n\to+\infty}\frac1{n}\sum_{i=1}^np_i=p
$$ Montrer que $$\lim_{n\to+\infty}P\left(\left|\frac{X_1+\cdots+X_n}{n}-p\right|>\varepsilon\right)=0
$$ L'énoncé est un peu chaotique, ne mentionne pas $\varepsilon$, j'imagine : $\forall\varepsilon>0$...
J'ai un peu de mal à organiser une rédaction... et même à démarrer.
Je pensais à un mélange Césaro + Bienaymé-Tchebychev.
Mais en saisissant l'énoncé, je me demande si ce n'est pas seulement du Césaro à adapter...
Merci de toute suggestion.
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Réponses
montrer que l'hypothèse $\lim_{n\to+\infty}\frac1{n}\sum_{i=1}^np_i=p$ permet d'avoir les propriétés souhaitées pour la suite de VAR $(X_n)$ définie par :
$$X_n = \frac1{n}\sum_{i=1}^n X_i$$
Je note $$Y_n = \frac1{n}\sum_{i=1}^n X_i
$$ Par linéarité : $$\lim E(Y_n)=p
$$ Par indépendance : $$V(Y_n)=\frac1{n^2}\sum_{k=1}^nV(X_k)
$$ Je majore grossièrement la variance d'une variable de Bernoulli par 1, et donc $V(Y_n)\to 0$.
Cqfd avec ton exercice !