Produit convergence en loi

Bonjour
Étant en train de réviser mon cours d'intégration en vue des rattrapages j'ai quelques questions.

Soit ($X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de V.A.R IID dans $\mathbb{N}$, de même loi binomiale $\mathbb B(m,p),$ où $m\in \mathbb{N}$ et $ p \in\, ]0,1[$ sont fixés.
$\alpha_n= \prod_{i=1}^n (1+X_i)^\frac{1}{n}$
1. Étudier la convergence presque sûre et dans la $L^{1}$ lorsque $n$ tend vers infini.
2. Soit $S_{n} = X_{1} + X_{2} + \cdots + X_{n},\ n \in \mathbb{N} $
Étudier la convergence en loi de $\dfrac{S_{n} - nmp}{\sqrt{S_{n}}} $ lorsque $n$ tend vers l'infini.

Ma réponse.
1. J'ai pensé a introduire le logarithme pour transformer le produit en une somme et utiliser la loi des grands nombres, mais je ne suis pas sûr.
2. $\displaystyle \frac{S_{n} - nmp}{\sqrt{S_{n}}} = \frac{n(S_{n} -mp)}{\sqrt{S_{n}}} = \frac{\sqrt{n}(S_{n} -mp)}{\sqrt{\frac{S_{n}}{n}}} $
On a le numérateur tend en loi vers une normale $N(0,\sqrt{var(X_{1}})$ grâce au TCL
Dénominateur tend en P.S. vers $mp$ grâce loi des grands nombres.
Donc d'après Slutsky le tout tend en loi vers $ mp * N(0,\sqrt{var(X_{1}}))$

Mon problème c'est comment faire sans Slutsky vu que le théorème n'a pas été vu en cours, et comment aborder la question 1