Théorème de Kolmogorov: convergence de séries

Le raisonnement suivant est-il correct ?

On peut vérifier que $(S_n)_n$ converge p.s. si et seulement si $$\forall \epsilon >0,\ \lim_nP(\sup_{k \in \mathbb{N}}|S_{n+k}-S_n|>\epsilon)=0.
$$ par hypothèse on a $(S_n)_n$ converge p.s, alors il existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que : $$
P(\sup_{k \in \mathbb{N}}|S_{n_0+k}-S_{n_0}| > 1) \leq \frac{1}{2},$$ en utilisant l'inégalité ci-dessus, on obtient : $\forall n \in \mathbb{N}^*,$
\begin{align*}
\frac{\mathbb{E}[(S_{n_0+n}-S_{n_0})^2] }{2}
&\leq P(\sup_{k \in \mathbb{N}}|S_{n_0+k}-S_{n_0}| \leq 1) \mathbb{E}[(S_{n_0+n}-S_{n_0})^2] \\
&\leq P(\max_{0 \leq k \leq n}|S_{n_0+k}-S_{n_0}| \leq 1)\mathbb{E}[(S_{n_0+n}-S_{n_0})^2] \\
&\leq (c+1)^2
\end{align*} On a : $\quad\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{E}[(S_{n_0+n}-S_{n_0})^2]=\sum_{k=n_0+1}^{n+n_0}Var(X_k).$
D'où $\quad\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \sum_{k=1}^nVar(X_k) \leq \sum_{k=1}^{n+n_0}Var(X_k) \leq n_0c^2+2(c+1)^2$
D'où la série de variance converge (car une suite croissante et majorée converge).

Ce théorème est une réciproque, pour le théorème de Kolmogorov concernant les séries.