Théorème de Kolmogorov: convergence de séries
Bonjour, je désire prouver le théorème suivant, et j'ai besoin de votre aide s'il vous plaît.
Soit $(X_n)_n$ une suite indépendante de v.a.r centrées uniformément bornée par $c$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
Prouver, en utilisant l'inégalité suivante : $\quad\forall \epsilon>0,\ \mathbb{P}(\max_{1 \leq k \leq n}|S_k| \leq \epsilon)\mathbb{E}[S_n^2]\leq(\epsilon+c)^2, $
que si $(S_n)_n$ converge $p.s.$ alors $\sum_{n \in \mathbb{N}^*}\mathbb{E}[S_n^2]$ converge.
Comment utiliser cette inégalité pour vérifier que la dernière série converge ? Faut-il prouver qu'elle est de Cauchy ?
Merci d'avance.
Soit $(X_n)_n$ une suite indépendante de v.a.r centrées uniformément bornée par $c$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
Prouver, en utilisant l'inégalité suivante : $\quad\forall \epsilon>0,\ \mathbb{P}(\max_{1 \leq k \leq n}|S_k| \leq \epsilon)\mathbb{E}[S_n^2]\leq(\epsilon+c)^2, $
que si $(S_n)_n$ converge $p.s.$ alors $\sum_{n \in \mathbb{N}^*}\mathbb{E}[S_n^2]$ converge.
Comment utiliser cette inégalité pour vérifier que la dernière série converge ? Faut-il prouver qu'elle est de Cauchy ?
Merci d'avance.
Réponses
-
Des idées? S'il vous plait
-
Le raisonnement suivant est-il correct ?
On peut vérifier que $(S_n)_n$ converge p.s. si et seulement si $$\forall \epsilon >0,\ \lim_nP(\sup_{k \in \mathbb{N}}|S_{n+k}-S_n|>\epsilon)=0.
$$ par hypothèse on a $(S_n)_n$ converge p.s, alors il existe $n_0 \in \mathbb{N}^*$ tel que : $$
P(\sup_{k \in \mathbb{N}}|S_{n_0+k}-S_{n_0}| > 1) \leq \frac{1}{2},$$ en utilisant l'inégalité ci-dessus, on obtient : $\forall n \in \mathbb{N}^*,$
\begin{align*}
\frac{\mathbb{E}[(S_{n_0+n}-S_{n_0})^2] }{2}
&\leq P(\sup_{k \in \mathbb{N}}|S_{n_0+k}-S_{n_0}| \leq 1) \mathbb{E}[(S_{n_0+n}-S_{n_0})^2] \\
&\leq P(\max_{0 \leq k \leq n}|S_{n_0+k}-S_{n_0}| \leq 1)\mathbb{E}[(S_{n_0+n}-S_{n_0})^2] \\
&\leq (c+1)^2
\end{align*} On a : $\quad\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \mathbb{E}[(S_{n_0+n}-S_{n_0})^2]=\sum_{k=n_0+1}^{n+n_0}Var(X_k).$
D'où $\quad\displaystyle \forall n \in \mathbb{N}^*,\ \sum_{k=1}^nVar(X_k) \leq \sum_{k=1}^{n+n_0}Var(X_k) \leq n_0c^2+2(c+1)^2$
D'où la série de variance converge (car une suite croissante et majorée converge).
Ce théorème est une réciproque, pour le théorème de Kolmogorov concernant les séries.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 8 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres