Démonstration Beppo Levi

patate_volante · June 2018

Bonjour
J'ai fait une recherche, sans succès : mes excuses si le sujet a déjà été évoqué.
Je lis le poly de théorie de la mesure dispo ici. J'en suis au théorème de Beppo Levi.

À ce niveau là on dispose d'une définition de l'intégrale des fonctions étagées positives, et on sait que cette intégrale est croissante pour les fonctions étagées positives (si une fonction étagée est supérieure à une autre, son intégrale aussi).
La définition de l'intégrale pour les fonctions mesurables positives est $$\int_E f d\mu = \sup \left\{ \int_E h d\mu: h \leq f \right\} $$ avec $h$ étant étagée positive.
Il faut démontrer que pour une suite de fonctions $f_n$ mesurables et positives, alors on a l'égalité suivante : $$\int_E \lim_n \uparrow f_n d\mu = \lim_n \uparrow \int_E f_n d\mu
$$ Si on regarde la partie droite, comme il s'agit de $\lim_n \uparrow$, cela revient à considérer $\sup_n$ (non ?).
Il s'agit donc de $\quad\displaystyle \sup_n \sup \left\{ \int_E h d\mu: h \leq f_n \right\} .$
A-t-on le droit d'inverser les \sup ?
Si oui, cela revient à $\quad\displaystyle \sup \sup_n \left\{ \int_E h d\mu: h \leq f_n \right\} $
Ce qui revient à $\quad\displaystyle \sup \left\{ \int_E h d\mu: h \leq \sup_n f_n \right\} .$
Or les $f_n$ sont une suite croissante qui tend vers $f$,
cela revient donc à $\quad\displaystyle \sup \left\{ \int_E h d\mu: h \leq f \right\} = \int_E f d\mu$
Et donc fin de démonstration ?
Bon en voyant la complexité de la démonstration du poly, je me doute qu'il y a un problème avec ma tentative. Mais je n'ai personne à qui la faire corriger, je m'en remets donc à vous : si je peux comprendre ce qui ne va pas cela m'aiderait considérablement.
Par avance merci pour toute aide là-dessus !

[Ne pad abuser des expressions centrées. ;-) AD]

aléa · June 2018

On peut intervertir des sup sur un ensemble produit

$\sup_{x\in X}\sup_{y\in Y} g(x,y)=sup_{(x,y)\in X\times Y} g(x,y)=\sup_{y\in Y} \sup_{x\in X}g(x,y),$
mais ce n'est pas le schéma présent.

patate_volante · June 2018

Merci pour la réponse. C'est vrai que je ne peux pas utiliser cela ici.

Comme cette histoire de me travaille un peu, je suis revenu à la définition de $sup$ pour voir si on peut en tirer quelque chose. J'ai pris la définition de Rudin dans ses principes d'analyse mathématique. On suppose que les fonctions étagées positives munies de $\leq$ forment un ensemble totalement ordonné (il faudrait le vérifier ?). On considère l'ensemble $A_n = \left\{g\leq f_n\right\}$. S'il existe un élément g' de $A_n$ qui réponde aux deux conditions suivantes :
1) g' est un majorant de $A_n$
2) Si h < g', alors h n'est pas un majorant de $A_n$
Alors on appelle cet élément $\sup A_n$.

Ce que je cherche à montrer (sans doute à tort), c'est que l'on a $\sup_n \sup A_n = \sup \bigcup_n A_n$, ce que l'on peut écrire formellement comme $\sup \bigcup_n \left\{ \sup A_n \right\} = \sup \bigcup_n A_n$.

Soit $x = \sup \bigcup_n \left\{ \sup A_n \right\}$. Alors on a les deux conditions évoquées précédemment dans la définition de $sup$ :

1) x est un majorant de $\bigcup_n \left\{ \sup A_n \right\}$. x est donc un majorant d'éléments eux-memes majorants les $A_n$, x est donc un majorant de tous les $A_n$, x est donc un majorant de $\bigcup_n A_n$.
2) Si z < x, alors z n'est pas un majorant de $\bigcup_n \left\{ \sup A_n \right\}$. Il y a donc un n pour lequel $\sup A_n > z$. D'après la définition de sup, z n'est donc pas un majorant de $A_n$. Donc Z n'est pas un majorant de $\bigcup_n A_n$.

On a donc x qui est $\sup \bigcup_n A_n$ car il réunit bien les deux conditions de la définition de sup pour l'ensemble $ \bigcup_n A_n$.

Or $\bigcup_n A_n = \bigcup_n \left\{g\leq f_n\right\} = \left\{g\leq f\right\}$. ($f_n$ est une suite croissant vers $f$).

(PS: Cette égalité peut se justifier ainsi : l'inclusion de gauche a droite est triviale, et l'inclusion dans l'autre sens aussi si l'on exclut le cas g = f, ce qui peut etre justifié en ne considérant dans cette partie de la démonstration que les fonctions $f$ non étagées. Dans le cas ou f est étagée Beppo Levi est bcp plus facile à justifier étant donné les résultats disponibles sur le passage à la limite des mesures.)

On obtient donc $\sup_n \sup \left\{g\leq f_n\right\} = \sup \left\{g\leq f\right\}$.

Grace à la croissance de l'intégrale des fonctions étagées positives, on en déduit :
$\sup_n \sup \left\{\int_E gd\mu : g\leq f_n\right\} = \sup \left\{\int_E gd\mu : g\leq f\right\}$

Et donc le résultat recherché... Où-est-ce que je me trompe ?

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