Espérance d'un produit

Bonjour,

$Z=XY$ admet une espérance (finie) en tant que transformée d'un couple de variables aléatoires discrètes finies.

Nous avons:
\begin{align*}
E(Z) &= E(XY)\\
&= \displaystyle\sum_{(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)}xy\mathbb{P}([X=x]\cap [Y=y])~~&(1)\\
&= \displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)}\left(\displaystyle\sum_{y\in Y(\Omega)}xy\mathbb{P}([X=x]\cap [Y=y])\right)\\
&= \displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)}\left(\displaystyle\sum_{y\in Y(\Omega)}xy\mathbb{P}(X=x)\mathbb{P}(Y=y)\right)~~&(2)\\
&= \displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)}\left[x\mathbb{P}(X=x)\left(\displaystyle\sum_{y\in Y(\Omega)}y\mathbb{P}(Y=y)\right)\right]~~&(3)\\
&= \left(\displaystyle\sum_{y\in Y(\Omega)}y\mathbb{P}(Y=y)\right)\left(\displaystyle\sum_{x\in X(\Omega)}x\mathbb{P}(X=x)\right)~~&(3)\\
&= E(Y)E(X)\\
&= E(X)E(Y)
\end{align*}
$(1)$: d'après le théorème de transfert
$(2)$: par indépendance de $X$ et de $Y$
$(3)$: par linéarité de $\sum$

Rebonjour,

Pour ce qui est de la preuve du théorème de transfert, tout dépend du niveau auquel tu te places.

Il existe un théorème de transfert bien plus général, un incontournable de la théorie de la mesure, qui te permet de faire apparaître immédiatement une intégrale par rapport à la mesure image $\mathbb{P}_{(X,Y)}$, que tu peux écrire, grâce à l'hypothèse d'indépendance, à l'aide des mesures $\mathbb{P}_X$ et $\mathbb{P}_Y$.

Si tu souhaites une démonstration plus artisanale, et spécifique aux variables aléatoires discrètes (finies (si tu souhaites esquiver pour le moment les éventuels problèmes de sommabilité)), utilise:

$$\sum_{(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)}\sum_{\omega\in\Omega, X(\omega)=x~\text{et}~Y(\omega)=y}...=\sum_{\omega\in\Omega}...$$

L'ensemble
$$\left\{~~\{\omega\in \Omega~|~(X(\omega),Y(\omega)=(x,y)\},~(x,y)\in X(\Omega)\times Y(\Omega)~~\right\}$$
forme une partition de $\Omega$.