Urne et espérance.
Bonjour à tous. On considère une urne avec $2n$ boules : $n$ blanches et $n$ noires. On effectue un tirage dans l'urne : si la boule tirée est blanche on l'ôte de l'urne, et sinon on la laisse dans l'urne. On recommence jusqu'à ce que l'urne ne contienne plus que des boules noires. On note $X$ le nombre de tirages effectués. Mes questions sont : ce modèle est-il quelque chose de classique, peut-on avoir accès à la loi de $X$, et à son espérance (si celle-ci existe) ?
Merci !
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Réponses
Si à un moment donné il reste $1\leq k\leq n$ boules blanches et $n$ boules noires alors on va attendre un temps $Y_k$ qui suit la loi géométrique de proba de succès $\frac{k}{k+n}$ avant de tirer une boule blanche.
Donc
$$
X=Y_n+Y_{n-1}+\dots +Y_1,
$$
c'est un peu pénible à justifier mais les $Y_k$ sont indépendants. Pour l'espérance pas de soucis,
$$
\mathbb{E}[X]=\sum_k\mathbb{E}[Y_k]=\sum_{k=1}^n \frac{n+k}{n}.
$$
$$
\mathbb{P}(\text{ on ne tire jamais plus "blanc"}) = \frac{n}{n+k}\times \frac{n+1}{n+1+k}\times \frac{n+2}{n+2+k} \dots =0.
$$
Donc on finit forcément par tirer une blanche. Pour finir la preuve je sais pas trop, il faudrait peut-être utiliser Borel-Cantelli conditionnel, ou alors trouver une martingale qui fasse le job. (Tu es à quel niveau en probas d'ailleurs?).
$$
\mathbb{P}(\text{ on ne tire pas toutes les blanches })
= \mathbb{P}(\cup_k \{\text{ à partir de $k$, on ne tire que des noires }\})\leq \sum_k \mathbb{P}(E_k),
$$
et chaque $E_k$ est de proba $0$ (en changeant un peu la définition de $k$ dans mon post précédent).
Donc c'est bon (sauf erreur), en temps fini on épuise toutes les blanches. Pour l'espérance il "suffit" de calculer l'espérance s'il y a une blanche et une noire. Et en faisant le calcul tu vois que c'est $+\infty$. A nouveau, sauf erreur...
Si c'est un exo de prépa pffff... je veux bien rencontrer les gens qui y arrivent sans indication. A moins que j'ai raté un truc élémentaire.
Cela m'étonnerait qu'on demande la loi de $X$.
En quelle section a-t-il été donné ?
Merci à nouveau.