Urne et espérance.

dedekind93dedekind93
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous. On considère une urne avec $2n$ boules : $n$ blanches et $n$ noires. On effectue un tirage dans l'urne : si la boule tirée est blanche on l'ôte de l'urne, et sinon on la laisse dans l'urne. On recommence jusqu'à ce que l'urne ne contienne plus que des boules noires. On note $X$ le nombre de tirages effectués. Mes questions sont : ce modèle est-il quelque chose de classique, peut-on avoir accès à la loi de $X$, et à son espérance (si celle-ci existe) ?
Merci !

Réponses

  • LucasLucas
    Bonjour,

    Si à un moment donné il reste $1\leq k\leq n$ boules blanches et $n$ boules noires alors on va attendre un temps $Y_k$ qui suit la loi géométrique de proba de succès $\frac{k}{k+n}$ avant de tirer une boule blanche.

    Donc
    $$
    X=Y_n+Y_{n-1}+\dots +Y_1,
    $$
    c'est un peu pénible à justifier mais les $Y_k$ sont indépendants. Pour l'espérance pas de soucis,
    $$
    \mathbb{E}[X]=\sum_k\mathbb{E}[Y_k]=\sum_{k=1}^n \frac{n+k}{n}.
    $$
  • dedekind93dedekind93
    Merci Lucas, ça me va bien. La situation est-elle gérable si maintenant à chaque fois qu'on tire une noire on la remet dans l'urne AVEC une autre boule noire?
  • LucasLucas
    Ouh là c'est plus dur si tu rajoutes des noires Il me semble que tu as une probabilité positive de ne jamais faire disparaître les boules blanches!
  • dedekind93dedekind93
    Oui ma variable aléatoire n'est pas bien définie à valeurs dans $\mathbb{R}$ si la probabilité de ne jamais faire disparaître les boules blanches est non nulle, mais je ne sais pas le démontrer !
  • LucasLucas
    En fait j'ai changé d'avis. Je pense que tu finis toujours par faire disparaître toutes les balles blanches, mais je ne vois pas de façon facile de le montrer. Ce qui est sûr c'est que si à un moment tu as $k$ boules blanches, $n$ boules noires, alors
    $$
    \mathbb{P}(\text{ on ne tire jamais plus "blanc"}) = \frac{n}{n+k}\times \frac{n+1}{n+1+k}\times \frac{n+2}{n+2+k} \dots =0.
    $$
    Donc on finit forcément par tirer une blanche. Pour finir la preuve je sais pas trop, il faudrait peut-être utiliser Borel-Cantelli conditionnel, ou alors trouver une martingale qui fasse le job. (Tu es à quel niveau en probas d'ailleurs?).
  • dedekind93dedekind93
    Merci pour ton idée. L'exercice est niveau prépa, donc je pense qu'il ne s'agit pas de trouver une martingale. Adapter ton idée en sommant des variables aléatoires géométriques de paramètre aléatoire n'est sûrement pas possible...
  • LucasLucas
    Hum, il doit y avoir moyen de s'en sortir. En fait si on ne tire pas toutes les blanches alors il y a un moment à partir duquel on tire plus que les noires. Du coup,
    $$
    \mathbb{P}(\text{ on ne tire pas toutes les blanches })
    = \mathbb{P}(\cup_k \{\text{ à partir de $k$, on ne tire que des noires }\})\leq \sum_k \mathbb{P}(E_k),
    $$
    et chaque $E_k$ est de proba $0$ (en changeant un peu la définition de $k$ dans mon post précédent).

    Donc c'est bon (sauf erreur), en temps fini on épuise toutes les blanches. Pour l'espérance il "suffit" de calculer l'espérance s'il y a une blanche et une noire. Et en faisant le calcul tu vois que c'est $+\infty$. A nouveau, sauf erreur...

    Si c'est un exo de prépa pffff... je veux bien rencontrer les gens qui y arrivent sans indication. A moins que j'ai raté un truc élémentaire.
  • bisambisam
    Quelles sont précisément les questions posées dans cet exercice de prépa ?
    Cela m'étonnerait qu'on demande la loi de $X$.
    En quelle section a-t-il été donné ?
  • dedekind93dedekind93
    Merci Lucas pour ta réponse. C'est en filière psi... avec trois étoiles sur la feuille! Tu as raison bisam : la première question demande le calcul de l'espérance de $X$ pour la première règle du jeu et la seconde est ''quid de l'espérance de $X$ si ...''.
    Merci à nouveau.
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