Nombre de 00 dans une suite de 0-1 aléatoires

Soit $n\geqslant 2$. Je considère une suite de $n+1$ bits aléatoires, i.e $X_1,\ldots,X_{n+1}$ v.a.i.i.d de loi de Bernoulli de paramètre $\dfrac{1}{2}$, et je compte le nombre $N$ de $00$ dans ma suite. Autrement dit, $N =\displaystyle \sum_{i=1}^n Y_i$ avec $Y_i$ la variable aléatoire de Bernoulli qui vaut $1$ si $X_i = 0$ et $X_{i+1} = 0$.
Grâce à cette expression sous forme de somme, j'arrive à calculer l'espérance et la variance de $N$. Je trouve $E(N) = \dfrac{n}{4}$, et $V(N) = \dfrac{5n-2}{16}$.
Maintenant, je m'intéresse à la variable aléatoire centrée réduite $N^* = \dfrac{N-E(N)}{\sqrt{V(N)}}$. Je constate expérimentalement, sur des simulations, que $N^*$ semble converger en loi vers une loi normale centrée réduite quand $n$ tend vers $+\infty$. Ça ne m'étonne pas vraiment : $N$ est une grosse somme de v.a, TCL, tout ça... Le problème, c'est qu'on ne peut pas appliquer le TCL (en tout cas, la version que je connais), car les $Y_i$ ne sont pas indépendantes. Alors est-ce que quelqu'un aurait une idée de comment le prouver ?

Remarque : ça a l'air de marcher aussi si on regarde le nombre de $01$ dans la suite, au lieu de $00$. On a juste la variance qui change ($V(N) = \dfrac{n+2}{16}$ au lieu de $\dfrac{5n-2}{16}$).