Distance moyenne

J'ai ecrit ça sur le forum il y a longtemps, pardon de ne pas retrouver où.

Soit $(X_1,Y_1,X_2,Y_2)$ iid uniformes sur (0,1). Alors $D_i=X_i-Y_i\sim (1-|x|)1_{-1,1}(x)dx$ et $U_i=D_i^2\sim (1-\sqrt{u})1_{0,1}(u)\frac{du}{\sqrt{u}}=f(u)du.$ Donc $V=U_1+U_2\sim g(v)dv$ avec
$g(v)=\int f(u)f(v-u)du.$ Trivialement $g(v)=0$ si $v\notin [0,2]$. Notons $m=\max(0,v-1)$ et $M=\min(1,v)$ alors $g(v)$ est $$
\int_m^M(\frac{1}{\sqrt{u}}-1)\Big(\frac{1}{\sqrt{v-u}}-1\Big)du=2\arcsin \sqrt{\frac{M}{v}}-2\arcsin \sqrt{\frac{m}{v}}-2\sqrt{M}+2\sqrt{m}-2\sqrt{v-m}+2\sqrt{v-M}+M-m
$$ Si $ 0\leq v\leq 1$ alors $m=0,\ M=v$ et $$g(v)=\pi-4\sqrt{v}+v.$$ Si $ 1\leq v\leq 2$ alors $m=v-1,\ M=1$ et $$g(v)=4\arcsin\frac{1}{\sqrt{v}}-\pi+4\sqrt{v-1}-v-2.$$ Reste`\`a calculer $I=\int_0^2\sqrt{v}g(v)dv.$ La partie difficile se calcule par le changement de variable $v=1/\sin^2 t$ avec $\pi/4\leq t\leq \pi/2$, puis une intégration par parties. C'est \begin{eqnarray*}
H&=&\int_1^2\sqrt{v}\arcsin\frac{1}{\sqrt{v}}=2\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{t\cos t\, dt}{\sin ^4t}=\left[-\frac{2}{3}\frac{t}{\sin^3t}\right]_{\pi/4}^{\pi/2}+\frac{2}{3}\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{ dt}{\sin ^3t}\\&=&\left(\sqrt{2}-1\right)\frac{\pi}{3}+\frac{2}{3}\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\frac{ds}{(1-s^2)^2}=\left(\sqrt{2}-1\right)\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3}\log(1+\sqrt{2}).\end{eqnarray*}
Moins difficile est l'intégrale suivante, traitée par le changement de variable $v=\cosh ^2t$ avec $0\leq t \leq a$ avec $a=\log(1+\sqrt{2})$ tel que $2=\cosh^2 a:$ $$G=\int_1^2\sqrt{v-1}\sqrt{v}dv=-\frac{1}{4}\log(1+\sqrt{2})+\frac{3}{4}\sqrt{2}.
$$ Finalement $$\int_0^2\sqrt{v}g(v)=\frac{2+\sqrt{2}}{15}+\frac{1}{3}\log(1+\sqrt{2}=0,52140.$$

Super, Gabu.