Variables aléatoires et mesurabilité

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à proposer une solution correcte à un exercice de probabilité/théorie de la mesure.
En voici l'énoncé:

Soient $Z$ et $X$ deux variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé $( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Il s'agit de montrer que $Z$ est $\sigma(X)$-mesurable si et seulement s'il existe $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ borélienne telle que $Z=h(X)$.

J'ai réussi à montrer le sens: Si $Z=h(X)$ alors $Z$ est $\sigma(X)$-mesurable.
Mais je ne vois pas comment trouver la fonction $h$ dans l'autre sens. Cela me fait penser un peu à l'existence de l'espérance conditionnelle, mais je ne vois pas de piste pour mettre ça en forme.

Je vous remercie par avance pour toute aide,
Cordialement.