Variables aléatoires et mesurabilité
Bonjour à tous,
Je n'arrive pas à proposer une solution correcte à un exercice de probabilité/théorie de la mesure.
En voici l'énoncé:
Soient $Z$ et $X$ deux variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé $( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Il s'agit de montrer que $Z$ est $\sigma(X)$-mesurable si et seulement s'il existe $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ borélienne telle que $Z=h(X)$.
J'ai réussi à montrer le sens: Si $Z=h(X)$ alors $Z$ est $\sigma(X)$-mesurable.
Mais je ne vois pas comment trouver la fonction $h$ dans l'autre sens. Cela me fait penser un peu à l'existence de l'espérance conditionnelle, mais je ne vois pas de piste pour mettre ça en forme.
Je vous remercie par avance pour toute aide,
Cordialement.
Je n'arrive pas à proposer une solution correcte à un exercice de probabilité/théorie de la mesure.
En voici l'énoncé:
Soient $Z$ et $X$ deux variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé $( \Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Il s'agit de montrer que $Z$ est $\sigma(X)$-mesurable si et seulement s'il existe $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ borélienne telle que $Z=h(X)$.
J'ai réussi à montrer le sens: Si $Z=h(X)$ alors $Z$ est $\sigma(X)$-mesurable.
Mais je ne vois pas comment trouver la fonction $h$ dans l'autre sens. Cela me fait penser un peu à l'existence de l'espérance conditionnelle, mais je ne vois pas de piste pour mettre ça en forme.
Je vous remercie par avance pour toute aide,
Cordialement.
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Réponses
Tu peux peut-être utiliser le fait que si $Z$ est $\sigma(X)$-mesurable, alors
$$\mathbb E[Z|X] = Z.$$
Oui tout à fait, mais alors comment faire ressortir la fonction $h$ ? On aurait envie de prendre $h = \mathbb{E}[Z | \cdot ]$ mais quel sens aurait cette expression?
C'est justement la difficulté que je rencontre dans cet exercice. Auriez-vous une indication supplémentaire?
Merci par avance.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,1608660,1609942#msg-1609942
Merci beaucoup pour cette référence.
Cependant, j'ai un peu de mal à suivre la "démonstration" faite dans votre lien. Auriez-vous une preuve synthétique de ce résultat?
Cordialement.