Fonction muette et espérance conditionnelle

Bonjour à tous,

Dans un exercice de probabilités, on me demande de déterminer la loi de $X$ conditionnée à $X \wedge a$. Où $X$ est une variable aléatoire et $a \in \mathbb{R}$ une constante.
Pour cela, la solution de l'exercice calcule $\mathbb{E}(\phi(X) \ | \ X \wedge a)$ et en déduit la loi conditionnelle recherchée, avec $\phi$ une fonction borélienne bornée.

Je ne comprends pas cette méthode. A priori, elle ressemble fortement à celle de la "fonction muette" dans le cas d'une variable aléatoire quelconque. Mais celle-ci semble différente car dans le cas de la "méthode de la fonction muette" on considère une fonction continue bornée (et une fonction mesurable n'est pas forcément continue). De plus je ne comprends pas pourquoi la fonction $\phi$ n'est appliquée que sur $X$ dans l'expression $\mathbb{E}(\phi(X) \ | \ X \wedge a)$.

Je viens donc vous demander de l'aide concernant cet exercice. Auriez-vous des explications sur cette méthode utilisée pour le résoudre?

Merci par avance,
Cordialement.