Espérances conditionnelles de même loi

Bogdanov98
Bogdanov98
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour à tous
Dans un exercice de probabilités je rencontre un petit souci pour conclure.

Soient $(X,Y)$ et $(X',Y')$ deux couples de variables aléatoires de même loi tels que $X$ est intégrable.
Soit $f$ une fonction mesurable telle que $\mathbb{E}[X \mid Y]=f(Y)$,

La première question me demandait de montrer que $\mathbb{E}[X' \mid Y']=f(Y')$. Ce que j'ai réussi à faire.
Cependant la deuxième question (où je bloque) me demande d'en déduire que $\mathbb{E}[X \mid Y]$ et $\mathbb{E}[X' \mid Y']$ ont même loi.

Je ne vois pas du tout pourquoi (en ayant beau prendre les fonctions caractéristiques).
Pouvez-vous m'aider concernant cette question ?
Cordialement.

Réponses

  • Bogdanov98
    Bogdanov98
    Petit up car je n'ai toujours pas réussi à conclure.
    Toutes mes démarches voudraient passer par le fait que $Y$ et $Y'$ ont même loi mais ce n'est pas supposé dans l'énoncé.
  • Bogdanov98
    Bogdanov98
    Petit up. J'ai l'impression que tous les probabilistes sont en vacances :-D

    Je crois qu'il y a quelque chose qui m’échappe dans cet exercice. Le "en déduire" tend à penser que cela n'est pas très difficile à montrer, mais pourtant j'ai essayé beaucoup de choses (théorème des moments....) et en vain.

    Si un probabiliste (ou n'importe quel matheux) pourrait m'aider, je le remercie par avance.
  • Foys
    Foys
    Indication: soit $g$ une fonction mesurable bornée. Alors les variables aléatoires $f(Y)g(Y)-Xg(Y)$ et $f(Y')g(Y')-X'g(Y')$ ont même loi. Donc l'une est intégrable si et seulement si l'autre l'est. Que peut-on en déduire d'autre?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Ah tu avais déjà traité cette partie apparemment. Bon il suffit de comparer les fonctions de répartition pour conclure.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Bogdanov98
    Bogdanov98
    Bonjour et merci de votre aide :) !

    On veut donc montrer que $F_{f(Y)} (y)=P(f(Y) \leq y)=F_{f(Y')} (y)=P(f(Y') \leq y)$ pour $y \in \mathbb{R}$ ps.
    A priori l'exercice se place dans un cas général où on ne suppose pas forcément que les variables sont absolument continues ou discrètes. Donc montrer cette égalité me semble difficile avec uniquement les hypothèses de l'énoncé non?
    A priori $Y$ et $Y'$ ne suivent pas la même loi.
  • gerard0
    gerard0
    Bizarre ! les couples ont la même loi mais pas les marginales ? Comme les marginales se calculent avec la loi du couple ....

    Cordialement.
  • Bogdanov98
    Bogdanov98
    Cela serait vrai si les couples $(X,Y)$ et $(X,Y')$ auraient la même loi, non?

    Car sinon vous semblez affirmer que si l'on prend $(X_1, \cdots, X_n)$ et $(Y_1, \cdots, Y_n)$ deux vecteurs aléatoires de même loi, alors $X_i$ et $Y_i$ ont même loi? On peut trouver des contres-exemples avec des lois gaussiennes il me semble.
  • gerard0
    gerard0
    Tout dépend de ce que veut dire "même loi", mais pour moi, ça veut dire qu'on a les mêmes probabilités d'occurence. Je fais la différence avec "même type de loi".

    Cordialement.
  • Tryss
    Tryss
    @gerard0 :

    Si $X_1$ suit une loi de Bernoulli (avec $p=0.5$), et que l'on a $X_2 = X_1$, $Y_1 = X_1$ et $Y_2 = 1-X_1$, alors $X_1, X_2, Y_1$ et $Y_2$ ont même loi (une Bernoulli), mais $(X_1, Y_1)$ n'a pas la même loi que $(X_2, Y_2)$ non?
  • gerard0
    gerard0
    Ici, ce sont les couples qui ont la même loi. Relis mon premier message.

    Cordialement.
  • aléa
    aléa
    Vu la première question, tu dois simplement montrer que $f(Y)$ et $f(Y')$ ont même loi.
    Pour cela il suffit de voir que $Y$ et $Y'$ ont même loi, or $P_Y$ est la loi image de $P_{(X,Y)}$ par la projection sur la deuxième coordonnée, donc ....
  • Bogdanov98
    Bogdanov98
    Ha oui, vu comme ça tout devient clair !
    Comme $P_{(X,Y)}=P_{(X',Y')}$ on obtient par définition de mesure image, pour tout borélien $B$ de $\mathbb{R}$:
    $$P_Y(B) := P_{(X,Y)}(\pi^{-1}(B)) = P_{(X',Y')}(\pi^{-1}(B)) = P_Y'(B)$$
    Où l'on note $\pi$ la projection sur la deuxième coordonnée. Donc $P_Y=P_Y'$.

    Donc je suppose que l'on peut bien évidemment généraliser cela au cas de deux vecteurs $(X_1, \cdots, X_n)$ et $(Y_1, \cdots, Y_n)$ qui suivent une même loi, alors $X_i$ et $Y_i$ suivent une même loi.

    C'est donc la réciproque de cela qui est fausse. Merci pour m'avoir aidé ! Je n'avais plus du tout les idées en place!

    Merci à tous les contributeurs! :-)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 4

Petit Gaulois +3 Invités