Limite intégrale de f(nx) sur borélien
Bonjour,
je sèche sur un exercice qui doit faire manipuler le théorème de convergence dominée. Si on a une fonction $f$ borélienne qui est $T$ périodique et bornée et $A$ un borélien, on souhaite montrer que $$
\lim_{n\to\inf}\int_A f(nx)dx = \frac{\lambda(A)}{T}\int_{[0;T]} f(t)dt
$$ Dans les indications de l'exercice, on demande d'abord de prouver cette propriété sur un intervalle borné $I$ et ensuite de montrer que l'ensemble des boréliens de $I$ forment une tribu.
Je parviens à montrer la relation sur les intervalles bornés, en revanche je ne vois pas pourquoi il suffit de montrer que les boréliens de $I$ forment une tribu. J'aurais imaginé qu'il faille montrer que l'ensemble vérifiant la propriété est une tribu sur $\mathbf {R}$ plutôt, ou alors il y a un théorème qui me manque… Et dans tous les cas je ne sais pas trop comment montrer qu'on a une structure de tribu. Ça ne me semble pas pratique de passer par des unions dénombrables parce que deux éléments de l'union peuvent se superposer et du coup les relations d'additivités sautent. Pareil pour les intersections dénombrables… On ne peut pas supposer que les intersections sont décroissantes parce que ça nous arrange ; malheureusement.
Merci pour votre lecture !
je sèche sur un exercice qui doit faire manipuler le théorème de convergence dominée. Si on a une fonction $f$ borélienne qui est $T$ périodique et bornée et $A$ un borélien, on souhaite montrer que $$
\lim_{n\to\inf}\int_A f(nx)dx = \frac{\lambda(A)}{T}\int_{[0;T]} f(t)dt
$$ Dans les indications de l'exercice, on demande d'abord de prouver cette propriété sur un intervalle borné $I$ et ensuite de montrer que l'ensemble des boréliens de $I$ forment une tribu.
Je parviens à montrer la relation sur les intervalles bornés, en revanche je ne vois pas pourquoi il suffit de montrer que les boréliens de $I$ forment une tribu. J'aurais imaginé qu'il faille montrer que l'ensemble vérifiant la propriété est une tribu sur $\mathbf {R}$ plutôt, ou alors il y a un théorème qui me manque… Et dans tous les cas je ne sais pas trop comment montrer qu'on a une structure de tribu. Ça ne me semble pas pratique de passer par des unions dénombrables parce que deux éléments de l'union peuvent se superposer et du coup les relations d'additivités sautent. Pareil pour les intersections dénombrables… On ne peut pas supposer que les intersections sont décroissantes parce que ça nous arrange ; malheureusement.
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Réponses
Commence par prendre deux ensembles $A$ et $B$ vérifiant ta propriété, est-ce que tu arrives à démontrer que $A\cup B$ la vérifie aussi ?
rappel : $\lambda(A\cup =\lambda(A)+\lambda(B)-\lambda(A\cap $. Après ça démontre que cela marche pour n'importe quelle union finie. Et pour passer aux unions dénombrables, l'idée est de tronquer l'union en une union finie plus un petit reste et de dégainer les $\varepsilon$.
> Je pense que tu dois montrer que les sous ensembles de $I$ qui vérifient la propriété que tu veux forment une tribu.
> Puisque cette collection d'ensemble contient tous les intervalles de $I$ on saura que la propriété est vraie pour
> tous les boréliens de $I$.
Oui mais justement, on veut que la propriété soit vraie pour tous les boréliens de $\mathbb{R}$. Du coup si on prouve la propriété pour les parties de $I$ je vois pas pourquoi ça se généralise à $\mathbb{R}$, a priori l'union de tribu n'est pas nécessairement une tribu...
> Commence par prendre deux ensembles $A$ et $B$ vérifiant ta propriété, est-ce que tu arrives à démontrer que $A\cup B$ la vérifie aussi ?
> rappel : $\lambda(A\cup =\lambda(A)+\lambda(B)-\lambda(A\cap $. Après ça démontre que cela marche pour n'importe
> quelle union finie. Et pour passer aux unions dénombrables, l'idée est de tronquer l'union en une union finie
> plus un petit reste et de dégainer les $\varepsilon$.
Justement je sèche parce que si on a $A$ et $B$ qui vérifient la propriété, ça semble pas immédiat que leur intersection la vérifie.
Bon j'ai regardé pour cette union de deux ensembles vérifiant la propriété, effectivement on retombe sur le problème de savoir si leur intersection vérifie la propriété et on a l'impression de ne pas avoir avancé... Il y a peut être une astuce toute bête mais là je ne vois pas. Du coup, une autre possibilité pour résoudre ton exercice est d'utiliser le résultat suivant :
Soi $A$ un borélien Borné et $\varepsilon>0$ un nombre réel, il existe $P_1,\ldots P_n$ une famille finie d'intervalles ouverts tels que :
-$A\subset \cup P_i$
-$\sum \lambda(P_i) <\lambda(A)+\varepsilon$
J'ai essayé sur mon cahier, normalement en utilisant cette propriété ça devrait marcher.
Cette propriété me dit quelque chose je vais voir si elle est pas en exercice dans mon livre.