Limite intégrale de f(nx) sur borélien

Bonjour,
je sèche sur un exercice qui doit faire manipuler le théorème de convergence dominée. Si on a une fonction $f$ borélienne qui est $T$ périodique et bornée et $A$ un borélien, on souhaite montrer que $$
\lim_{n\to\inf}\int_A f(nx)dx = \frac{\lambda(A)}{T}\int_{[0;T]} f(t)dt
$$ Dans les indications de l'exercice, on demande d'abord de prouver cette propriété sur un intervalle borné $I$ et ensuite de montrer que l'ensemble des boréliens de $I$ forment une tribu.

Je parviens à montrer la relation sur les intervalles bornés, en revanche je ne vois pas pourquoi il suffit de montrer que les boréliens de $I$ forment une tribu. J'aurais imaginé qu'il faille montrer que l'ensemble vérifiant la propriété est une tribu sur $\mathbf {R}$ plutôt, ou alors il y a un théorème qui me manque… Et dans tous les cas je ne sais pas trop comment montrer qu'on a une structure de tribu. Ça ne me semble pas pratique de passer par des unions dénombrables parce que deux éléments de l'union peuvent se superposer et du coup les relations d'additivités sautent. Pareil pour les intersections dénombrables… On ne peut pas supposer que les intersections sont décroissantes parce que ça nous arrange ; malheureusement.

Merci pour votre lecture !