Hölder et Minkowski conditionnelles

Bogdanov98 · July 2018

Bonjour à tous
Je voudrais savoir si les inégalités de Hölder et de Minkowski se généralisent pour des espérances conditionnelles ?
Est-ce que l'on a (avec $\mathcal{F}$ une tribu) : $$
\mathbb{E}[|XY| | \mathcal{F}] \leq (\mathbb{E}[ |X|^p | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{p}} (\mathbb{E}[ |Y|^q | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{q}}
$$ et $$
(\mathbb{E}[ |X+Y|^p | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{p}} \leq (\mathbb{E}[ |X|^p | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{p}} + (\mathbb{E}[ |Y|^p | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{p}}
$$ avec les hypothèses d'intégrabilité des inégalités dans le cas habituel.

Si celles-ci sont vraies, est-ce que l'on peut les démontrer en "calquant" leurs démonstrations dans le cas habituel ?
Dans le cas échéant, auriez-vous des références sur ces résultats ?
Merci par avance.
Cordialement.

Siméon · July 2018

As-tu essayé de décalquer les démonstrations ? Les seules propriétés de l'espérance utilisées par ces inégalités sont la linéarité et la positivité donc il n'y a aucun problème pour l'espérance conditionnelle.

Bogdanov98 · July 2018

La démonstration usuelle que je connais de Hölder dans le cas habituel, utilise l'inégalité de Young (convexité):
Pour des réels positifs: $ab \leq \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$ et ensuite pour démontrer l'inégalité de Hölder je pose $a=\frac{ |X|} {(\mathbb{E}[|X|^p])^{1/p}}$ et $b=\frac{ |Y|} {(\mathbb{E}[|Y|^q])^{1/q}}$

Si je calque la démonstration, j'aurais envie de poser:
$a=\frac{ |X|} {(\mathbb{E}[|X|^p | \mathcal{F}])^{1/p}}$ et $b=\frac{ |Y|} {(\mathbb{E}[|Y|^q | \mathcal{F}])^{1/q}}$
Sauf que les dénominateurs sont maintenant des variables aléatoires qui peuvent potentiellement s'annuler, non?
C'est cet endroit qui me pose problème pour produire une preuve rigoureuse.

Merci de votre aide!

Siméon · July 2018

Ok, j'avais mal saisi ton problème. Je vois au moins deux façons de procéder.

Méthode 1 : montrer d'abord l'inégalité pour des variables $X$ et $Y$ telles que $X > 0$ et $Y > 0$ presque sûrement, puis en déduire le cas général par approximation.

Méthode 2 : en travaillant pour presque tout $\omega \in \Omega$, se ramener à montrer que si des réels positifs $x,y,z$ vérifient pour tout $t\in \mathbb R,\ z \leq \frac{e^{tp}}p x + \frac{e^{-tq}}q y$, alors $z \leq x^{\frac 1p}y^{\frac 1q}$.

Bogdanov98 · July 2018

Merci pour votre aide à nouveau.

Cependant je ne vois pas du tout la piste de votre méthode 1.
Avec votre méthode 2, je vois comment conclure en appliquant l'inégalité aux variables concernées. Cependant comment vérifier que $z=\mathbb{E}[ |XY| | \mathcal{F}]$ vérifie bien l'inégalité? En la vérifiant tout d'abord pour les fonctions étagées puis en raisonnant par approximation?

Siméon · July 2018

C'est simplement l'inégalité de Young $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ avec $a = e^t |X|$ et $b = e^{-t} |Y|$ à laquelle on applique l'espérance conditionnelle. Pour être rigoureux il faut faire attention à l'interversion du « $\forall t$ » et du « p.s. » mais ça ne pose pas de problème en utilisant la densité de $\Bbb Q$ dans $\Bbb R$.

Avec l'autre méthode on vérifie que $X > 0$ implique $\Bbb E(X \mid \mathcal F) > 0$ p.s.

aléa · July 2018

Siméon a écrit:

Pour être rigoureux il faut faire attention à l'interversion

Oui, il faut faire attention à ce genre de problèmes.
Dans le même ordre d'idées, plusieurs ouvrages proposent une preuve fausse/incomplète de l'inégalité de Jensen conditionnelle.

Sinon, il me semble qu'on peut avoir tout de suite le résultat en appliquant l'inégalité de Hölder à la loi conditionnelle, au moins dans le cas où l'espace de base est polonais - mais dans le cas général on doit pouvoir s'y ramener puisque $(X,Y)$ est à valeurs dans un espace polonais.
Bien sûr la notion de loi conditionnelle sachant une tribu est un gros morceau (voir par exemple mon bouquin http://www.iecl.univ-lorraine.fr/~Olivier.Garet/livre-pps/ )

Bogdanov98 · July 2018

Je pense avoir réussi à m'en sortir avec votre méthode 1 Siméon. C'est celle qui me semble la plus rentable à retenir vu qu'elle se calque bien sur celle dans le cas habituel.

Effectivement j'ai eu du mal à trouver une preuve rigoureuse de l'inégalité de Jensen conditionnelle, et je viens de voir que j'avais utilisé la votre aléa! (dans votre livre).

Je vous remercie à vous deux pour votre aide :-) !
Cordialement.

Siméon · July 2018

Je viens de voir que Wikipedia (en) donne une démonstration qui s'apparente à la méthode 1 mais qui est un peu plus intriquée car elle se fait par restriction plutôt qu'approximation : https://en.wikipedia.org/wiki/Hölder's_inequality#Conditional_Hölder_inequality

Personnellement je trouve la méthode 2 plus facile à retenir : l'inégalité de Hölder est essentiellement l'optimisation de l'inégalité de Young.

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