Bonjour à tous
Je voudrais savoir si les inégalités de Hölder et de Minkowski se généralisent pour des espérances conditionnelles ?
Est-ce que l'on a (avec $\mathcal{F}$ une tribu) : $$
\mathbb{E}[|XY| | \mathcal{F}] \leq (\mathbb{E}[ |X|^p | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{p}} (\mathbb{E}[ |Y|^q | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{q}}
$$ et $$
(\mathbb{E}[ |X+Y|^p | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{p}} \leq (\mathbb{E}[ |X|^p | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{p}} + (\mathbb{E}[ |Y|^p | \mathcal{F} ] )^{\frac{1}{p}}
$$ avec les hypothèses d'intégrabilité des inégalités dans le cas habituel.
Si celles-ci sont vraies, est-ce que l'on peut les démontrer en "calquant" leurs démonstrations dans le cas habituel ?
Dans le cas échéant, auriez-vous des références sur ces résultats ?
Merci par avance.
Cordialement.
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