Tirage boules

Avec $n$ sacs, le nombre de boules blanches suit la loi binomiale $B(n,2/3).$

Oui bien sûr, chacun des tirages des sachets est indépendant de tous les autres. Tu numérotes les sachets $1,2,\ldots,n$. Tirer une boule blanche est un succès $S$, sinon c'est un échec $E$. La probabilité de $S$ est $2$/3. Finalement tu observes une suite du style $SSESE$ (je fais $n=5$ par exemple). La probabilité de $SSESE$ est $(2/3)^3(1/3)^2$ parce que $SSESE$ a 3 $S$ et 2 $E$. Maintenant si tu demandes quelle est la probabilité d'avoir 3 succès, il y a 10 suites de ce genre, comme $EESSS$, $ESSSE$ etc, chacune de proba $(2/3)^3(1/3)^2$. Donc la probabilité de 3 succès exactement est $$ 10(2/3)^3(1/3)^2.$$ Tu vois comment généraliser. La seule chose à savoir est que le nombre de sous-ensembles de $\{1,2,\ldots,n\}$ de taille $k$ est $n!/(k!(n-k)!)$ Une suite de $S$ et de $E$ de longueur $n$ est caractérisée par la place des $S.$. Par exemple $SSESE$ est décrit par $\{1,2.4\}\subset \{1,2,3,4,5\}$ et $5!/(3!2!)=10.$