Espérance conditionnelle.

Salut à tous.

Soit $T$ et $S$ deux temps d'arrêt. $F_{S}$ la tribu des temps antérieur à $S$.
J'aimerais comprendre, par une preuve, pourquoi $\forall A \in F_{S},\ E X_{T} 1_{A} \geq E X_{S} 1_{A}$ implique que $ E ( X_{T} \mid F_{S}) \geq X_{S}$.

Merci.

[ton pseudo a été modifié selon ton souhait. Bienvenue, Bruno]



Edité 3 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Bruno.

Bonjour,

Que vaut $E ( X_{S} \mid F_{S})$ ?

Une fois que l'indication de Krokop sera claire je te suggère d'appliquer l'hypothèse à l'évènement $A = \left\{E(X_T \mid F_S) < X_S\right\}$ pour en déduire que $P(A) = 0$.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Siméon.

Salut Krokop.

$ E ( X_{S} \mid F_{S}) = X_{S}$ car $F_{S}$ mesurable.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Sylvi Lani.

Salut Siméon.

$P(A) =0$ car $E(X_{S} 1_{A}) > E( E(X_{T} | F_{S}) 1_{A}) = E( E(X_{T} 1_{A} | F_{S})) = E(X_{T}1_{A})$

Bonjour Sylvi,

C'est presque ça, mais la première inégalité n'est pas stricte (pourquoi ?). Est-il clair que $P(A) = 0$ ?

Je réfléchis.

Ce n'est toujours pas clair pour moi.

Je pense que c'est une inégalité large par exemple si $X$ est nulle.
Dans ce cas là $P(A)=0$ clairement.

J'ai envie d'écrire : $E(X_{T} 1_{A}) \geq E( X_{S} 1_{A} ) > E(X_{T}1_{A} )$
Mais je dois faire attention car la dernière inégalité est fausse comme vous dites elle est large.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Sylvi Lani.

On pourrait supposer que $P(A) >0$ et obtenir une inégalité strict.
Je pense que le problème c'est que si on intègre sur un ensemble de mesure nulle alors l'intégrale est nulle.

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