Probabilité et temps

aka-ball · July 2018

Bonjour à tous, je suis nouveau sur ce forum et je m'y suis inscrit car j'ai toujours aimé (non pas au collège) les mathématiques.
J'ai vraiment apprécié lorsque la pédagogie a été au rendez vous par un professeur au lycée.
Mon niveau en maths n'est pas exceptionnel mais ce que j'adore s'est les probabilités. Et aujourd'hui j'ai besoin d'aide car j'ai du mal avec une notion de probabilité et de temps.
Je m'explique.

Je prends toujours l'exemple de pile ou face, soit deux solutions pour un lancer (je ne compte pas que la pièce se brise ou tombe sur la tranche lol).

On a donc 50% de chance d'avoir pile et 50 % d'avoir face ou écrit aussi 0.5/1 pour un lancer.
Cependant, si on me pose la question, quelle est la probabilité d'avoir deux fois consécutivement pile qui sorte je dirai, 25%.
Pourquoi?
Car j'aurai donc en solution sur deux lancers : Pile-Face // Face-Pile // Face-Face // Pile-Pile.

Niveau calcul il me semble donc approprié de noter : S = (0.5^N)*100, S la solution, N le nombre de lancers. Pour avoir le % de chance que cela arrive.

Si je veux donc savoir le % de chance que face sorte 4 fois consécutivement je dirai que la réponse est donc (0.5^4)*100= 6.25%

Si déjà ici j'ai faux je vous prie de m'éclairer.

Bien, continuons dans l'hypothèse où je ne me sois pas trompé.

Maintenant, voici un problème.
Kevin, Cédric et Pierre sont 3 inconnus. Un lancer de pièce est effectué tout les 1/4 d'heure. Ils rentrent dans cette pièce un à un après un lancer.

Kevin rentre donc le premier. La question suivante lui est posée: Quel est le % de chance que la pièce tombe sur face après ce lancer.
Il répond donc 50% de chance. La pièce tombe sur face.

Kevin reste dans la pièce, Cédric entre à son tour sans avoir connaissance que la pièce a déjà été jetée. La même question est à nouveau posée et ils répondent indépendamment.
Kevin répond 25%, Cédric lui répond que non il y a 50%. La pièce tombe sur face.

Kevin et Cédric reste dans la pièce et Pierre y entre à son tour sans avoir connaissance que la pièce a déjà été jetée. La même question est à nouveau posée et ils répondent indépendamment.
Kevin répond 12.5%, Cédric 25% et Pierre dit que non il y a 50%. La pièce retombe sur face.

Est-ce que chacun a bien répondu avec les éléments qu'il avait ou bien en réalité, la chance que la pièce tombe sur pile ou face ne doit pas prendre en compte les lancers précédents ?
Du moins est-ce que Kevin est dans le vrai du fait de connaître les événements passés ou c'est Pierre le dernier entré qui à raison du fait qu'il ne connaît pas les événements passés et que quoi qu'il arrive en lançant une pièce on a TOUJOURS 50% de chance qu'elle fasse pile ou face ?

Merci de bien vouloir m'éclairer sur ce point dans un premier temps. Merci à tous.

Dom · July 2018

Bonjour,

Je ne vais pas répondre à tes questions tout de suite.
Avant de continuer je m'interroge.

Tu dis en parlant d'une pièce : «...soit deux solutions pour un lancer...on a donc 50% de chance d'avoir pile et 50 % d'avoir face...»

Peux-tu expliciter ce "donc" que j'ai mis en gras ?

Par exemple, quand je joue au loto, je peux gagner ou bien ne pas gagner. Soit, deux solutions, j'ai « donc » 50% de chance de gagner et autant de perdre.

Ce n'est pas pour t'embêter et ça devrait me permettre de répondre à ta question.

aka-ball · July 2018

Bonjour ,

Je dirai que je différencie le fait que le résultat du lancer de pièce est pile ou face "donc" probabilité de 50% pour chaque événement, alors que le Loto certes tu as deux possibilités gain ou perte mais l'événement gain n'est le résultat que d'une probabilité sur une quinzaine de millions 'donc" <0.0001% grossièrement.
Je dirai que mon "donc" signifie "égal"?
Cordialement merci

Dom · July 2018

Ok, tu y es presque même si ce n'est pas clair ;-).

Dis-moi si je me trompe :
Tu considères tout simplement que la pièce que tu choisis est équilibrée.
Le fait qu'il y ait deux possibilités, c'est le fait que ce soit une pièce (et tu exclues la tranche ou autre sortie bizarre), c'est une hypothèse (quelque chose d'admis).
Mais en fait, le "donc", n'est pas du tout une déduction (ni un "égal" voyons :-S) mais c'est une donnée du problème.
La phrase magique est : tu te places dans le cas où on a autant de chance de tomber sur Pile que sur Face et comme il n'y a que deux possibilités équiprobables, tu en déduis (là, oui, c'est un donc) que chacune des probabilités est 0,5.

Je résume :
Tes données sont :
-je joue à un jeu avec deux issues (tu l'avais dit)
-les deux issues sont équiprobables (c'est le point qui m'intéressait : tu n'en as pas parlé. Mais en probabilité, tu te dois de donner le modèle d'une manière ou d'une autre).

Ta conclusion est : 0,5 pour Pile et 0,5 pour Face.
Avec ce modèle précisé, oui c'est juste.

Seconde question :
Avec ce modèle (expérience à deux issues équiprobables), tu dis que quand on fait deux fois l'expérience ça donne quatre possibilités ordonnées (p-p, p-f, f-p, f-f). Je suis d'accord.
Mais pourquoi ça ferait 0,25 pour chaque ?

Maxtimax · July 2018

Je me permets de répondre rapidement entre les questions de Dom (qu'il est important que tu te poses car elles sont pertinentes et peuvent remettre en cause certains présupposés !) :
A chaque fois, ils ont tous tort sauf le dernier. En effet, prenons par exemple la question juste avant le deuxième lancer. Kevin a observé un "face" et on lui demande maintenant quelle est la probabilité d'obtenir un face dans ce deuxième lancer.
Cette question est totalement différente (!!) de la question "quelle est la probabilité qu'il y ait 2 'face' de suite ?".

Tu peux le voir comme un arbre, par exemple celui qui est ici. Poser la question "quelle est la probabilité qu'il y ait 2 'face' de suite ?" c'est se mettre tout à gauche et se demander quelle est la probabilité d'arriver tout en bas à droite. Mais si un "face" est déjà tombé et qu'on demande la probabilité d'obtenir "face" à nouveau, c'est avancer sur l'arbre le long de la branche inférieure jusqu'au premier "F" et se demander la probabilité d'arriver en bas à droite; mais c'est sachant qu'on a déjà eu un face

aka-ball · July 2018

Et bien car on a 4 issues sur 2 lancés lorsque chaque sortie est equiprobable. Donc on a 1/4 pour chacune d'entre elles et 1/4 est bien égal à 0.25 ou 0.5^2

aka-ball · July 2018

Donc le point de vue est important mais "réellement" enfin physiquement Kévin aura déjà observé un face donc lui sait que sur le premier lancé c'était face et qu'un face face à seulement 0.25% de chance de sortir.
Sachant que sur une infinie de lancé il y aura 50/50 pour pile ou face, si il doit choisir entre pile ou face qui sorte la réponse "logique" serai pile pour tendre vers un équilibre non?

Si vous avez 8 fois face qui tombe et que l'on vous demande mettre 100€ sur la prochaine sortie... Il sera plus logique de miser pile car à un moment il y a un équilibre qui doit se créer et de plus il n'y a que 1/512 que face retombe à nouveau

Maxtimax · July 2018

Non ! justement non il n'y a pas d' "équilibre". Et non, Kevin ne sait pas ça, puisque c'est faux, une fois face tombé, face a réellement une probabilité de 50% de tomber à nouveau !
Le fait qu'au début de l'expérience, ça aurait été 25% pour avoir deux faces n'est qu'une affaire de comptage, il n'y a pas de magie, d'équilibre ou quoi que ce soit.
Je le redis : une fois le premier face tombé, la pièce n'a pas à "se souvenir" qu'elle a fait un face, et on revient à une situation similaire au tout début: 50/50.
Donc ne mise pas comme ça ;-) (la seule chose étant que si pile tombe 8 fois d'affilée, il est aussi fort probable que la pièce soit truquée - mais si tu t'es assuré d'une manière ou d'une autre qu'elle ne l'était pas; alors après 8 piles, tu n'as pas plus intérêt à parier face qu'à parier pile)

Dom · July 2018

Et bien, si on lance le dé des millards de fois, sur toutes les séries où tu tombes sur 8 piles d'abord, tu en auras environ la moitié où le 9eme lancer donne pile et l'autre moitié où le 9eme lancer donne face. D'après le modèle choisi et en admettant que les lancers sont indépendants.
Un certain équilibre a lieu...mais ça ne permet pas de miser davantage sur une issue qu'une autre.
En effet, comment savoir que ça va être ppppppppf ou ppppppppp ?

Pour la réponse à la seconde question :
On dessine l'arbre proposé par @Maxtimax.
On admet le théorème suivant : la probabilité d'obtenir une des issues est égale au produit des probabilités rencontrées sur le chemin. Ainsi, on a bien équiprobabilité des quatre issues.

Je dis "théorème" mais je me souviens du point de vue de @christophe c qui parlait davantage d'axiome ou bien qu'il fallait admettre tellement de choses pour le prouver que ça revenait au même de l'admettre.
Il est en vacances mais nous dira si je reformule assez bien ses propos (on essaiera de ne pas trop digresser et je créerai un fil si besoin).

aka-ball · July 2018

Donc en fait pour résumer, au préalable, si on me dit j'ai 3 lancés à effectuer, quelle est la probabilité de chaque résultats: ppp ppf pfp pff fpp fff fpf ffp cela sera 1/8 car reparti équitablement.
Mais si les deux premiers lancé sont pp j'ai autant de chance d'avoir ppf que ppp car la pièce aura 50/50 de faire p ou f s'est bien cela?

Maxtimax · July 2018

Oui exactement !
(Dom c'est pas un théorème, c'est une hypothèse: c'est précisément l'hypothèse que les lancers sont indépendants)

aka-ball · July 2018

D'accord donc inutile d'attendre une longue série de piles ou de faces pour commencer à miser que 'l'opposé" va sortir du coup ?
En fait cela reviendrait à dire "je mise sur le fait que la série va se finir" n'est-ce pas ?
C'est juste que c'est difficile à admettre dans le sens où même si cela est possible dans la théorie que 10 piles sortent consécutivement, le 11eme lancer aura autant de chance d'être un pile qu'un face..

Dom · July 2018

Et oui...
Pour un jeu similaire, on peut aller au casino, jouer à La Boule, en regardant les couleurs.
On a bien entendu le numéro $0$ qui n'est ni rouge ni noir, histoire de ne pas faire du 50/50...
Mais attendre quelques séries "longues" et tenter de parier l'opposé peut-être très instructif... ;-)

Maxtimax · July 2018

En probabilités, on a beaucoup d'a priori qui sont très souvent faux: il bien faire attention à notre intuition qui nous trompe souvent.

Il est vrai que 11 piles c'est moins probable que 10 piles, que même 10 piles c'est très peu probable, c'est même vrai que "sur 11 lancers, 10 piles et un face (pas forcément dans cet ordre)" c'est beaucoup plus probable que "11 piles d'affilée"; mais pour autant, une fois que 10 piles ont été faits, pile ou face c'est pareil.

Il faut juste voir que ces probabilités là c'est juste du comptage; les côtés ne jouent en rien !

aka-ball · July 2018

Dom, en effet la roulette peut être très proche du pile ou face c'est aussi un point que je vais aborder après, cependant qu'entends-tu par "instructif" ?
Car pour ma part j'ai déjà joué à la roulette en partant même avec des petites sommes (20€), je suis monté à quelques 200€ mais je ne me focalisais pas sur rouge noir.
Je prenais (à tort) du fait des explications que vous m'avez fournies précédemment, une attente de 3 à 4 même événements tel que pair pair pair ou rouge rouge rouge ou manque manque manque pour miser l'opposé ce qui évite d'attendre vu qu'on joue simultanément sur plusieurs tableau et qu'un nombre peut faire parti de plusieurs de ces "groupes" en même temps.
Le souci de cette "méthode" c'est que si l'on joue en martingale on peut vite être dépassé à cause d'une mise devenue importante si on a une suite de par exemple 6 rouges on sera à 2+4+8€ (vu qu'on a attendu 3 rouges avant de commencer à miser noir).
Dans le fond je pensais que cette méthode n'avais de limite que :
- notre budget à cause de la martingale.
- la mise maximale autorisée (souvent 100).

Mais à tort je pensais qu'attendre un début de suite minimisait les chances de perdre ou du moins d'essuyer une série trop longue mais en réalité chaque lancer à toujours 49% environ de tomber sur rouge ou noir...

Alors dans cette logique je m'étais dit "bah autant jouer sur les tiers" vu que chaque tiers à grossièrement 33% de chance de sortir, les deux autres ont environ 66% (mais y a le zéro qui entre en jeu également).

Dans mon calcul je me disais il faut seulement 3 lancers consécutifs tombant sur le même tiers faisant 1/27 contre 4 à 5 lancers 1/16 à 1/32 sur des groupes pairs pour avoir la même probabilité de gains.

Bref du coup tout cela est faux MAIS j'avais l'illusion que cela était juste du fait qu'au préalable j'avais par exemple environ 6,25% de chance d'avoir une série ce soir là de 4 rouges consécutifs mais autant d'avoir sur 4 lancers rouge noir noir rouge...

Dans ce cas comment aborder la chose avec les éléments que l'on a ?
Je sais que si un jeu est mis à disposition c'est que son espérance de gain est positive et la nôtre négative mais alors comment rendre un maximum vers une équité ?

Dom · July 2018

Je disais "instructif" de manière ironique. Signifiant, en gros, qu'il ne faut pas jouer.

Lorsque je joue à ce genre de table, je sais que je suis perdant sauf si j'ai de la chance.
Avoir de la chance, c'est tomber plusieurs fois sur la bonne issue.
En effet, en jouant les "tiers", on peut gagner un peu, à court terme.

Les martingales, c'est pratique aussi mais tu as compris : la mise max est là pour enrayer la stratégie.

Il m'avait semblé, je ne sais pas si c'est vrai, que le Black Jack était le jeu le plus équitable. Et surtout, on y passe du temps et on a vraiment l'impression de participer, de jouer.
Là où j'ai gagné le plus et très rapidement c'est, malheureusement, aux machines à sous. Là où on appuie sur des cases et la machine joue toute seule...

De toute manière, le pire qui peut t'arriver en jouant...est de gagner une grosse somme.
Car, après, tous les petits gains, tu te mets à les rejouer, par dépit...

aka-ball · July 2018

Ok donc aucune solution permettant de gagner sur la durée ou alors avoir de la chance... Chanel qui réellement est faire le bon choix au bon moment sans avoir eu pour autant d'éléments permettant de guide ce choix vu que l'on a toujours la même probabilité de gagner ou perdre le coup...

Cependant, il doit bien y avoir des techniques de martingale ou autre méthode de jeu qui permettent de réduire la perte e augmenter le profit lorsque notre "chance" est équilibré non?

Par exemple, si on misé les pertes avec une martingale sous forme de montante en Fibonacci, et miser les gains en doublant simplement, alors vu que l'on mise moins vite sur une perte et plus vite sur un gain, et que l'on a autant de chance de gagner 3 fois consécutivement que perdre 3 fois consécutivement alors on gagnerait plus vite qu'on ne perdrait non ? Le tout est que les sorties doivent être en partie équilibré..

Le tout est de donner une limite à chacune des deux.
La j'aurai éventuellement besoin d'aide pour les calculs.
En effet j'ai en parallèle de l'écriture de ce message essayé deux trois type de montante avec cet énoncé mais vu que mes tirages sont aléatoires cela ne reflète pas tout les ensemble d'événements.
Une formule pour chaque doit exister mais la personnellement je peche...
Je les inséres dans un prochain message.

Merci d'avance

aka-ball · July 2018

Alors avant de commencer, je vais réécrire deux notions pour que l'on soit tous d'accord.

Premièrement la suite de Fibonacci s'est bien :
1-2-3-5-8-13-21-34-55-89.....

Une suite en progression multipliée par deux s'est :

1-2-4-8-16-32-64-128.

Déjà rien que la, en prenant pour acquis que dans le casino le plus proche de chez moi, la mise maximale sur un "chance double" comme noir ou rouge s'est 100€, la suite de Fibonacci offre 10 coups jouables concrètement contre 7 pour la suite inscrite en dessous.

Deuxième chose on a dit que quelques soit le nombre de lancés et résultats sorties, le noir et le rouge à l'instant T à toujours ~49% chacun de chance de sortir.

On ne prendra en considération que les jeux sur noirs et rouge pour cet exemple (donc valable pour pair/impair et manque/passe)

La sortie du zéro sera considérée comme perdante.

Cas n°1 :
Quand on a perdu le coup on incrémentera selon la suite de Fibonacci.
Quand on a eu bon on descendra d'un cran selon la suite de Fibonacci.

Cas n°2:
Quand on a perdu le coup on incrémentera selon la suite qui double.
Quand on a bon on descendra d'un cran sur la suite qui double.

Cas n°3:
Quand on a faux on incrémentera selon la suite de Fibonacci.
Quand on a eu bon on recommence du début de la suite.

Cas n°4:
Quand on a faux on incrémentera selon la suite qui double.
Quand on a bon on recommence du début de la suite.

Cas n°5:
Quand on a faux on incrémentera selon la suite de Fibonacci.
Quand on a bon on double jusqu'à un palier (que j'ai besoin d'aide pour le fixer).

Cas n°6:
Quand on a faux on incrémentera selon la suite qui double.
Quand on a bon on reprend de 1 pour enchaîner maxi 3 coup en doublant puis même si on a gagné on reprendra à 1.

Exemple : faux/1 faux/2 faux/4 faux/8 vrai/16 faux/1 vrai/2 vrai/1 vrai/2 vrai/4 vrai/1 faux/2 vrai/4

Noté (résultat/mise effectuée)

Voilà pour ce type de martingale, certaines seront plus risquées d'autre plus lente à gagner, mais après tout, si il ne faut qu'être patient alors pourquoi pas.

Pour finir, j'ai lu une autre technique mais qui là vise à jouer les numéro pleins.
Le concept est de patienter (mais du coup s'est inutile non vu que chaque numéro à chaque lancé a autant de chance de sortir que les autres) puis par exemple au bout de 15 lancés, choisir 5 numéro qui ne sont pas sorti.
On place 1 jeton sur chaque nombre, si le nombre sort on gagne bien évidemment et on remplace ce nombre par un nombre n'étant pas sortie, si on perd on attend de perdre 5 fois avant de rajouter un jeton supplémentaire sur les 5 nombres et on réédite l'opération.

On a donc pour chaque lancé 5/37 de chance d'avoir juste soit environ 13,5%.
Je ne trouve pas logique d'attendre 5 coups spécifiquement vu que 36/5= 7,2 environ... On pourrait donc attendre 7 coup et même au 7eme on serai bénéficiaire vu qu'un nombre plein paye 36 fois la mise.

De plus autre chose étrange... Si au premier "palier" je ne gagne pas, au second non plus etc jusqu'à 7 paliers par exemple, je serai pas forcément gagnant ou du moins les gains se transforme même en perte.

Au début on a joué 25€ sur un palier au maximum pour en gagner 36.
Au deuxième on a joué 50€ sur le palier +les 25 du précédent pour gagner 72€... Donc -3€ Etc etc..
Là où s'est intéressant, s'est de gagné au "début" du changement de palier par exemple mise de 2 sur les nombres, on a joué 25+10 et on gagne 72 donc + 37€ mais comment calculer la limite ou même le meilleur nombre de coup à jouer ou la méthode d'ajout de jetons sur les numéros pour ne pas être perdant en cas de gain?

Faut il doubler plutôt que d'ajouter une unité ? Monter en Fibonacci ? Autre chose?

Merci

Probabilité et temps

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