Convergence dans L2 inégalité de Markov

ADINOLESNITE · August 2018

Bonjour à tous

Soit une suite de v.a $(X_{n})_{n}$ convergeant dans $L^{2}$ vers une v.a $X$.
Est-ce qu'on peut appliquer l'inégalité de Markov à $(X_{n})_{n} -X$ ?

Je pense que $(X_{n})_{n} -X$ est dans $L^{2}$ à partir d'un certain rang.
Merci.

Poirot · August 2018

Le fait que $(X_n)_n$ converge vers $X$ dans $L^2$ implique en particulier que $X_n-X$ est dans $L^2$ à partir d'un certain rang !

ADINOLESNITE · August 2018

@poirot Oui bien sûr mais l'inégalité de Markov exige que la différence soit dans L2. Je veux savoir si la différence est dans L2 à partir d'un certains rang permet d'appliquer l'inégalité de Markov

Poirot · August 2018

Je ne sais pas trop ce que tu appelles inégalité de Markov, pour moi elle se passe dans $L^1$. Peut-être veux-tu parler de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev ?

Dans tous les cas, il s'agit d'appliquer cette inégalité à chaque $X-X_n$ qui est dans $L^2$, donc s'ils le sont tous à partir d'un certain rang il n'y a pas d'obstruction à appliquer cette inégalité à chacun d'entreeux pour obtenir un résultat asymptotique du style "une certaine proba concernant $X-X_n$ est inférieure à une quantité dépendant de $n$ pour tout $n$ à partir d'un certain rang".

ADINOLESNITE · August 2018

Merci @Poirot,

l'inegalité de Markov est la suivante: soit $X\in L^{p}$ avec $p \geq 1$ on a
$P(\vert X \vert \geq a) \leq \frac{1}{a^{p}} E(\vert X \vert ^{p}) $ pour tout $a$ strictement positif.
Tchebichev c'est pour $p=2$ et c'est la proba de $\vert X-E(X) \vert$ qui est dominée.

Convergence dans L2 inégalité de Markov

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