Comportement asymptotique/ probabilité jointe

Bonjour à tous,
J'aurais besoin d'aide sur un calcul statistique. Imaginons que j'ai $n$ variables aléatoires $X_i$, positives, i.i.d de loi connue. Je note $ F_n(R) := \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n 1_{X_i < R} $, où $R$ est une constante, $\bar{X_n} := \dfrac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i $, ainsi que $I$ un intervalle de $[0,1]$.

J'aimerais avoir le comportement asymptotique (pour $n$ grand) de la quantité suivante:
$$K_n(x) := P(\bar{X_n} < x , F_n(R) < I_{sup}) - P( \bar{X_n} < x , F_n(R) < I_{inf})$$

Si on imagine que $X$ est un gain, cela se traduirait si je ne me trompe pas par "la probabilité d'avoir un gain moyen inférieur à $x$ ET que la fréquence d'un gain inférieur à $R$ est dans l'intervalle $I$".

Si $X_n$ et $F_n(R)$ étaient indépendants alors on aurait:

$$ K_n(x) = F_\bar{X_n} (x) \left[ F_{F_n(R)}(I_{sup}) - F_{F_n(R)}(I_{inf}) \right]$$
où le théorème central limite nous permet de dire que $\bar{X_n}$ se comporte asymptotiquement comme une loi normale $N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$, et que $F_n(R)$ se comporte asymptotiquement comme une loi normale $N\left(F(R),\dfrac{\sqrt{F(R)(1-F(R))}}{\sqrt{n}}\right)$

Deux problèmes: 1°) $X_n$ et $F_n(R)$ ne sont pas indépendants 2°) Même s'ils l'étaient, je ne saurais pas comment continuer à partir de là...

Sauriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Nexx