Sur la mesure de Lebesgue

Sur $[0,1]$, avec $C$ assez petit $$I=\bigcup_{q=1}^{\infty}~\bigcup_{p=1}^q~\left]\frac{p}{q}-\frac{C}{q^3},\frac{p}{q}+\frac{C}{q^3}\right[\,.$$

Heu je voulais dire $E=[0,1]\setminus I,$ celebre exemple de ferme sans pont interieur et de mesure positive.

@P. tu as dû mettre une intersection au lieu d'une union quelque part, ou quelque chose comme ça, car la propriété est équivalente pour $E$ et son complémentaire.

Bonjour
Il y a du Cantor
http://www.math.utah.edu/~ptrapa/6210/ps2-solutions.pdf

@ben T, tu ne regardes pas tes mp? je t'ai envoyé ce lien et un autre de MSE , il y a 11 heures

Gebrane : La démonstration de ton fichier est très incomplète. En fonction de comment on "remplit les trous" on pourrait très bien avoir $m(E\cap I)=0$ où $m(E\cap I)=m(I)$ pour certains intervalles $I$. Il y a un vrai travaille a faire pour dire comment on remplit les trous et pour s'assurer que ces situations ne se produisent pas.

P. a eu une bonne idée mais il faut être un peu plus "soigneux" dans les étapes de construction (le caractère autosimilaire ne semble pas marcher ici!) car il faut contrôler la "densité" de l'ensemble et de son complémentaire à chaque étape!
La preuve donnée ici est un peu technique malheureusement... J'ai opté pour la construction duale (construire un $G_{\delta}$ plutôt qu'un $F_{\sigma}$).

***Il suffit de se restreindre au segment $[0,1]$ (quitte à translater).

Il faut se servir de l'exercice $1$ (si tu as le livre sous les yeux!). On veut construire par récurrence une suite d'ouverts denses $(E_{k})_{k\in \mathbb{N}},$ de mesure $\varepsilon_{k}$ (où $(\varepsilon_{k})$ désigne une suite strictement décroissante de nombres strictement plus petit que $1$, convergeant vers un nombre $c$ strictement positif).

On note à chaque génération la famille des intervalles ouverts et disjoints $(A_{k,n})$ recouvrant exactement $E_{k}.$ On note également $l_{k,n}=m(A_{k,n})$ (où l'on a $l_{k,n}\leq 2^{-k}$) de manière à avoir $\displaystyle \sum_{n\geq 0}l_{k,n}=\varepsilon_{k}.$

De plus, on veut que $E_{k+1}\subset E_{k}$ tel que pour tout $n,$ $E_{k+1}\subset A_{k,n}$ soit dense dans $A_{k,n}$ et $\displaystyle m(E_{k+1}\cap A_{k,n})=\frac{\varepsilon_{k+1}}{\varepsilon_{k}}l_{k,n}.$

***Procédons à la récurrence. On choisit pour $E_{0}$ un ouvert dense de mesure $0<\varepsilon_{0}<1.$

Supposons que l'on ait construit les ensembles $E_{i}$ pour $i=0,\ldots,N.$ On veut construire $E_{N+1}$ avec les propriétés requises.
Par l'exercice $1$, on peut construire $E_{N+1}$ tel que $E_{N+1}\subset E_{N}$ tel que pour tout $n,$ $E_{N+1}\subset A_{N,n}$ soit dense dans $A_{N,n}$ et $\displaystyle m(E_{N+1}\cap A_{N,n})=\frac{\varepsilon_{N+1}}{\varepsilon_{N}}l_{N,n}.$ Mais alors par la propriété de recouvrement de $E_{N}$, on obtient $m(E_{N+1})=\varepsilon_{N+1}.$

Remarquons bien qu'alors pour tout $n,$ $l_{k,n}\leq 2^{-k}$ et $\displaystyle m(E_{k+1}^{c}\cap A_{k,n})=\left( 1-\frac{\varepsilon_{k+1}}{\varepsilon_{k}} \right)l_{k,n}>0.$

***Ainsi, l'ensemble $\displaystyle E=\bigcap_{k\geq 0}E_{k}$ convient. En effet, considérons un intervalle ouvert non dégénéré $I=]x_{0}-\delta,x_{0}+\delta[.$ Soit $k_{0}$ tel que $2^{-k_{0}}\leq \frac{\delta}{2}.$
Comme $E_{k_{0}}$ est dense dans $[0,1],$ il existe alors $a$ appartenant $E_{k_{0}}$ tel que $\vert a-x_{0}\vert \leq 2^{-k_{0}}.$ Mais alors, par l'inégalité triangulaire, il existe un certain $n_{0}$ tel que $A_{k_{0},n_{0}}\subset I.$
Par construction, on a alors pour tout $k>k_{0},$ $$m(A_{k_{0},n_{0}}\cap E_{k})=\frac{\varepsilon_{k}}{\varepsilon_{k_{0}}}l_{k_{0},n_{0}}.$$
Et ainsi, on obtient $$m(A_{k_{0},n_{0}}\cap E)=\frac{c}{\varepsilon_{k_{0}}}l_{k_{0},n_{0}}>0.$$
Enfin, on a également $$m(A_{k_{0},n_{0}}\cap E^{c})=\left(1-\frac{c}{\varepsilon_{k_{0}}}\right)l_{k_{0},n_{0}}>0.$$
Et donc vu que $A_{k_{0},n_{0}}\subset I,$ on obtient effectivement $$0<m(I\cap E)<m(I).$$

Remarque : On a même prouvé au passage que $E$ avait pour mesure $0<c<1$ arbitrairement choisi.

@Gebrane Euh, c'est exactement ce que Mojojo a écrit.... Tu rigoles, j'espère? L'argument exposé par Mojojo était clair!