Fonction de répartition et dérivation
Bonjour à tous,
Je connais le résultat suivant: Si $F_X$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ et que $F_X$ est dérivable alors $X$ admet une densité et sa densité est donnée par la dérivée de $F_X$.
Je me demandais qu'advenait de ce résultat si l'on prend un vecteur aléatoire à la place de la variable aléatoire $X$ ?
Est-ce que l'on peut trouver par exemple la loi conjointe d'un couple $(X,Y)$ (sans hypothèse d'indépendance) si l'on connait $F_{X,Y}$ (fonction de deux variables) ? Si oui, comment dériver $F_{X,Y}$ pour obtenir une densité de $(X,Y)$ ?
Je vous remercie par avance pour toute aide éventuelle,
Cordialement
Je connais le résultat suivant: Si $F_X$ est la fonction de répartition d'une variable aléatoire $X$ et que $F_X$ est dérivable alors $X$ admet une densité et sa densité est donnée par la dérivée de $F_X$.
Je me demandais qu'advenait de ce résultat si l'on prend un vecteur aléatoire à la place de la variable aléatoire $X$ ?
Est-ce que l'on peut trouver par exemple la loi conjointe d'un couple $(X,Y)$ (sans hypothèse d'indépendance) si l'on connait $F_{X,Y}$ (fonction de deux variables) ? Si oui, comment dériver $F_{X,Y}$ pour obtenir une densité de $(X,Y)$ ?
Je vous remercie par avance pour toute aide éventuelle,
Cordialement
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Réponses
Est-il possible d'en déduire une fonction de densité en prenant par exemple la différentielle de $F_{X,Y}$ ? Ou alors en dérivant successivement?
Ou peut être: existe-t-il un résultat voisin?
Cordialement et merci d'avance.
$$\Pr(a<X<a'\ \ ;\ b<Y<b')=F(a',b')-F(a',b)-F(a,b')+F(a,b)$$ d'ou on conclut que si $F$ est differentiable alors
$$\frac{\partial^2}{\partial x\partial y}F(x,y)$$ est la densite de $(X,Y).$
C'est exactement ce que je cherchais.
Cordialement.