Algèbre
Bonjour
Soit $\mathscr{G}$ une algèbre, les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) $\mathscr{G}$ est une sigma-algèbre
ii) $\mathscr{G}$ est stable par intersection dénombrable
iii) $\mathscr{G}$ est stable par limite croissante
iv) $\mathscr{G}$ est stable par limite décroissante
Cependant je ne sais pas ce que signifie une limite décroissante et mon prof a mis une ébauche de réponse pour iii) => i :
"Evident, $\bigcup_{n} A_n = \lim_{n} \uparrow (\bigcup_{p\leq n} A_p)$"
edit : Modification : bigcup au lieu de bigcap
i <=> ii et iii <=> iv en passant par le complémentaire, mais moi c'est le iii) <=> i) où j'ai du mal à comprendre l'équivalence.
Sachant qu'une tribu est stable par union dénombrable.
Je vous remercie
Soit $\mathscr{G}$ une algèbre, les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) $\mathscr{G}$ est une sigma-algèbre
ii) $\mathscr{G}$ est stable par intersection dénombrable
iii) $\mathscr{G}$ est stable par limite croissante
iv) $\mathscr{G}$ est stable par limite décroissante
Cependant je ne sais pas ce que signifie une limite décroissante et mon prof a mis une ébauche de réponse pour iii) => i :
"Evident, $\bigcup_{n} A_n = \lim_{n} \uparrow (\bigcup_{p\leq n} A_p)$"
edit : Modification : bigcup au lieu de bigcap
i <=> ii et iii <=> iv en passant par le complémentaire, mais moi c'est le iii) <=> i) où j'ai du mal à comprendre l'équivalence.
Sachant qu'une tribu est stable par union dénombrable.
Je vous remercie
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Réponses
Tu ne trouves pas ça évident ?
Pourriez vous écrire proprement la preuve 3 <=> 1 comme si c'était une réponse d'examen niveau l3 M1 ?
Je vous remercie
La limite croissante (resp. décroissante) d'une suite croissante (resp. décroissante) d'ensembles $(A_n)$ est simplement la réunion (resp. l'intersection) des ensembles de cette suite.
Dans les deux cas, on peut décrire la limite comme l'ensemble des $x$ tels qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n \geq N$, $x\in A_n$.
Oui, je pourrais écrire proprement la preuve de $3\Leftrightarrow 1$. Mais j'estime que c'est à toi de le faire, maintenant que tu as une définition précise de limite croissante. Essaie.
1 => 3
Soit $\mathscr{G}$ une tribu sur $\mathscr{X}$, par défintion $\mathscr{G}$ est stable par union dénombrable.
Soit $B$ une partie de $\mathscr{G}$ telle que $\forall n \in \mathbb{N}$ $ B_{n} \in \mathscr{G}$ et $ \forall n \in \mathbb{N} $ $B_{n} \subset B_{n+1} \ , alors \bigcup_{n \in \mathbb{N} } B_{n} \in \mathscr{G}.$
On remarque que $\bigcup_{n \in \mathbb{N} } B_{n} = \bigcup_{n \in \mathbb{N} } (\bigcup_{n \ge p } B_{p}) = lim_{ n \rightarrow \infty} \uparrow (\bigcup_{n \ge p } B_{p}) \in \mathscr{G} ? $.
Le reste des démos est analogue il faut juste changer les hypothèses. Je vous remercie.
ps : comment fait on pour obtenir l'indice sous l'union en latex : \underset
L'implication $i)\Rightarrow iii)$ est triviale puisque les limites de suites croissantes d'ensembles sont des cas particuliers d'unions dénombrables.
C'est l'implication $iii)\Rightarrow i)$ qui demande un petit peu de travail. On suppose que $\mathcal G$ est une algèbre stable par limite croissante. On prend une suite $(A_n)$ quelconque (pas forcément croissante) d'éléments de $\mathcal G$. Et on a à montrer que $\bigcup\limits_n A_n$ est dans $\mathcal G$.
Je te laisse refaire une rédaction propre.
Pour regarder le codage LaTeX, fais un clic droit sur la formule et va Show Math As > Tex Commands.