Algèbre

Nick1102 · August 2018

Bonjour

Soit $\mathscr{G}$ une algèbre, les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) $\mathscr{G}$ est une sigma-algèbre
ii) $\mathscr{G}$ est stable par intersection dénombrable
iii) $\mathscr{G}$ est stable par limite croissante
iv) $\mathscr{G}$ est stable par limite décroissante

Cependant je ne sais pas ce que signifie une limite décroissante et mon prof a mis une ébauche de réponse pour iii) => i :

"Evident, $\bigcup_{n} A_n = \lim_{n} \uparrow (\bigcup_{p\leq n} A_p)$"

edit : Modification : bigcup au lieu de bigcap

i <=> ii et iii <=> iv en passant par le complémentaire, mais moi c'est le iii) <=> i) où j'ai du mal à comprendre l'équivalence.
Sachant qu'une tribu est stable par union dénombrable.

Je vous remercie

GaBuZoMeu · August 2018

Tu voulais écrire que la réunion des $A_n$ est la limite croissante de la suite des $B_n=\bigcup\limits_{p\leq n} A_p$ ?
Tu ne trouves pas ça évident ?

Nick1102 · August 2018

Non je ne trouve pas ça évident, que voulez vous dire par limite croissante ?

Pourriez vous écrire proprement la preuve 3 <=> 1 comme si c'était une réponse d'examen niveau l3 M1 ?

Je vous remercie

GaBuZoMeu · August 2018

Une suite croissante (resp. décroissante) d'ensembles est une suite d'ensembles $(A_n)$ telle que, si $n\leq p$ alors $A_n\subset A_p$ (resp. $A_n\supset A_p$).
La limite croissante (resp. décroissante) d'une suite croissante (resp. décroissante) d'ensembles $(A_n)$ est simplement la réunion (resp. l'intersection) des ensembles de cette suite.
Dans les deux cas, on peut décrire la limite comme l'ensemble des $x$ tels qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n \geq N$, $x\in A_n$.

Oui, je pourrais écrire proprement la preuve de $3\Leftrightarrow 1$. Mais j'estime que c'est à toi de le faire, maintenant que tu as une définition précise de limite croissante. Essaie.

Nick1102 · August 2018

Bonjour, merci j'ai bien compris ce que signifie limite croissante.

1 => 3

Soit $\mathscr{G}$ une tribu sur $\mathscr{X}$, par défintion $\mathscr{G}$ est stable par union dénombrable.
Soit $B$ une partie de $\mathscr{G}$ telle que $\forall n \in \mathbb{N}$ $ B_{n} \in \mathscr{G}$ et $ \forall n \in \mathbb{N} $ $B_{n} \subset B_{n+1} \ , alors \bigcup_{n \in \mathbb{N} } B_{n} \in \mathscr{G}.$

On remarque que $\bigcup_{n \in \mathbb{N} } B_{n} = \bigcup_{n \in \mathbb{N} } (\bigcup_{n \ge p } B_{p}) = lim_{ n \rightarrow \infty} \uparrow (\bigcup_{n \ge p } B_{p}) \in \mathscr{G} ? $.

Le reste des démos est analogue il faut juste changer les hypothèses. Je vous remercie.

ps : comment fait on pour obtenir l'indice sous l'union en latex : \underset

GaBuZoMeu · August 2018

Bon, ce n'est pas très clairement rédigé.

L'implication $i)\Rightarrow iii)$ est triviale puisque les limites de suites croissantes d'ensembles sont des cas particuliers d'unions dénombrables.

C'est l'implication $iii)\Rightarrow i)$ qui demande un petit peu de travail. On suppose que $\mathcal G$ est une algèbre stable par limite croissante. On prend une suite $(A_n)$ quelconque (pas forcément croissante) d'éléments de $\mathcal G$. Et on a à montrer que $\bigcup\limits_n A_n$ est dans $\mathcal G$.

Je te laisse refaire une rédaction propre.

Pour regarder le codage LaTeX, fais un clic droit sur la formule et va Show Math As > Tex Commands.

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