Produit de lois exponentielles
Bonjour,
je cherche à trouver la loi du produit $XY$ de deux v.a.r indépendantes $X$ et $Y$ de même loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$...
Mon idée (pas originale) : $XY$ est à valeurs strictement positives presque sûrement,
et $\forall x>0,\ P(XY \leq x ) =P(\ln(X) + \ln(Y) \leq \ln(x)$ donc je vais chercher une densité de $Z = \ln(X) + \ln(Y)$
Une densité de $X$ est $f$ définie par $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ si $t>0$ et $f(t)=0$ si $t\leq 0$.
Alors facilement, une densité de $\ln(X)$ est $g(t) = \lambda e^t e^{-\lambda e^t}$ ; $g$ est bornée.
$\ln(X)$ et $\ln(Y)$ sont alors s2 v.a.r indépendantes... donc $Z = \ln(X) + \ln(Y)$ admet comme densité le produit de convolution de $g$ par $g$ ...
Et là je n'arrive pas à simplifier mon calcul... quelqu'un a une idée pour finir ?
je cherche à trouver la loi du produit $XY$ de deux v.a.r indépendantes $X$ et $Y$ de même loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$...
Mon idée (pas originale) : $XY$ est à valeurs strictement positives presque sûrement,
et $\forall x>0,\ P(XY \leq x ) =P(\ln(X) + \ln(Y) \leq \ln(x)$ donc je vais chercher une densité de $Z = \ln(X) + \ln(Y)$
Une densité de $X$ est $f$ définie par $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ si $t>0$ et $f(t)=0$ si $t\leq 0$.
Alors facilement, une densité de $\ln(X)$ est $g(t) = \lambda e^t e^{-\lambda e^t}$ ; $g$ est bornée.
$\ln(X)$ et $\ln(Y)$ sont alors s2 v.a.r indépendantes... donc $Z = \ln(X) + \ln(Y)$ admet comme densité le produit de convolution de $g$ par $g$ ...
Et là je n'arrive pas à simplifier mon calcul... quelqu'un a une idée pour finir ?
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Réponses
\int_0^{\infty}e^{-\lambda(\frac{z}{y}+y)}\lambda dy.$$
Je ne comprends pas le passage : $\Pr(X>z/Y)=\mathbb{E}(e^{-\lambda z/Y})$
Je trouve $\displaystyle \int_0^{\infty}e^{-\lambda(\frac{z}{y}+y)}\lambda^2 dy.$ mais je vais relire mon calcul... je vais étudier les fonctions de Bessel alors...
$$K_p(t)=\int_0^{\infty}e^{-\frac{t}{2}(u+\frac{1}{u})}u^{p-1}du,$$ qui ne sont elementaires que si $p-\frac{1}{2}\in \mathbb{Z}.$ Passer du temps a l'etude de $K_0$ ne va peut etre pas t'apporter grand chose- mais je ne sais pas pourquoi tu t'interesses a cette convolution multiplicative. En general la TF de Mellin comme tu l'as fait en considerant les log donne de bonnes informations.
Ici $\mathbb{E}(X^s)=\lambda^s\Gamma(s+1)$ et on sait beaucoup plus de choses sur la fonction Gamma et la Tf de Laplce de $\log (XY)$ que sur $K_0$ et la densite de $XY.$
je vais relire mes calculs...
Je me permets de reposer ma question :
Je ne comprends pas le passage : $\Pr(X>z/Y)=\mathbb{E}(e^{-\lambda z/Y})$
$\ln(X)$ est une v.a.r à densité dont une densité $g$ est bornée ($\lim\limits_{x \to -\infty} h(x) = 0$ et $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = 0$ et $h$ est continue sur ${\mathbb R}$).
$\ln(Y)$ est une v.a.r à densité $g$.
Et puisque $X$ et $Y$ sont indépendantes, $\ln(X)$ et $\ln(Y)$ sont indépendantes.
Donc $W=\ln(X) + \ln(Y)$, qui est la somme de deux v.a.r indépendantes, admet une densité $h$ vérifiant : $\forall x \in {\mathbb R}$, $h(x) = \int_{-\infty }^{+\infty} g(t) g(x-t) \, dt$.
$\forall x \in {\mathbb R}$, $h(x) = \int_{-\infty }^{+\infty} \left( e^t \times \lambda e^{-\lambda e^t} \right) \left( e^{x-t} \times \lambda e^{-\lambda e^{x-t}} \right) \, dt$
$\forall x \in {\mathbb R}$,
$h(x) = \lambda^2 e^{x} \int_{-\infty }^{+\infty} e^{-\lambda \left( e^t + e^{x}/e^{t} \right) } \, dt$
La fonction $\varphi$ définie par $\forall t \in {\mathbb R}$, $\varphi(t) = e^t$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\mathbb R}$ et est strictement croissante donc réalise une bijection de ${\mathbb R}$ sur $]0;+\infty[$.
Donc, en posant le changement de variable $u=e^t$ (avec $du = e^t \, dt$), on obtient que
$\forall x \in {\mathbb R}$,
$h(x) = \lambda^2 e^{x} \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{u} e^{-\lambda \left( u + e^{x}/u \right) } \, du$
$W$ est une v.a.r à densité $h$ sur ${\mathbb R}$ donc $XY=e^W$ admet une densité donnée par
$k(x) =
\begin{cases}
0 \quad \text{ si } x \leq 0 \\
\frac{1}{x} h ( \ln(x)) \quad \text{ si } x>0 \\
\end{cases}
$
Or $h$ est donnée par :
$
\forall x \in {\mathbb R}, \quad
h(x) = \lambda^2 e^x \int_{ 0 }^{ +\infty } \frac{1}{u} \left( e^{-\lambda (u+e^x/u)} \right) \, du
$
donc
$k(x) =
\begin{cases}
0 \quad \text{ si } x \leq 0 \\
\frac{1}{x} \times \lambda^2 e^{\ln(x)} \int_{ 0 }^{ +\infty } \frac{1}{u} \left( e^{-\lambda (u+e^{\ln(x)}/u)} \right) \, du \quad \text{ si } x>0 \\
\end{cases}
$
$k(x) =
\begin{cases}
0 \quad \text{ si } x \leq 0 \\
\lambda^2 \int_{ 0 }^{ +\infty } \frac{1}{u} \left( e^{-\lambda (u+x/u)} \right) \, du \quad \text{ si } x>0 \\
\end{cases}
$
donc il n'y a peut-être pas de faute dans mon calcul... ???