Arbre de probabilités

Bonjour,

Je commence à étudier un cours tout nouveau pour moi concernant les probabilités. J'ai beaucoup de mal à passer de la théorie aux exercices. Voici un exemple:

Un individu tire une série de 6 balles. Pour chaque balle, la probabilité de toucher une cible donnée est de 0,4.


(a) Quelle est la probabilité d'avoir touché exactement deux fois la cible ?

(b) Quelle est la probabilité de l'avoir touchée au moins une fois ?

(c) Quelle est la probabilité que le tireur ait touché exactement 5 fois la cible, sachant
qu'il l'a touchée au moins 3 fois ?

(d) Quel est le nombre minimum k de séries de 6 balles que l'individu doit tirer pour
que la probabilité de toucher au moins une fois la cible (au cours des 6k tirs) soit
supérieure à 0.9999 ?

Solutions : (a) 0,31 (b) 0,95 (c) 0,08 (d) k = 4

Je désignerai pas T l'évènement correspondant au touché de la cible et R, l'évènement contraire à T, càd rater la cible.

Pour ne pas lister les $2^6 = 64$ issues possibles dans un arbre, je reprendrai seulement les issues interéssantes.

a) L'individu aura réussi son objectif de toucher exactement deux fois sa cible si
TTRRRR RTTRRR RRTTRR RRRTTR RRRRTT
TRTRRR RTRTRR RRTRTR RRRTRT
TRRTRR RTRRTR RRTRRT
TRRRTR RTRRRT
TRRRRT

Ainsi, parmi les 64 issues possibles, 15 issues (listées ci-dessus) mènent à la réussite de l'objectif de l'individu.

Pour calculer la probabilité demandée, il suffit d'additionner les probabilités des 15 issues favorables comme suit: $$P("\textrm{L'individu touche exactement deux fois la cible}") = 15 \cdot 0.6^4 \cdot 0.4^2 \simeq 0.31$$

b) Un raisonnement analogue me permet de trouver la réponse.

c) C'est ici que les complications arrivent...
J'ai essayé d'utiliser la formule suivante $$P("\textrm{$E_1 = $ l'individu touche exacement 5 fois la cible} | \textrm{$E_2 = $ l'individu a déjà touché 3 fois la cible}") = \frac{P(E_1 \bigcap E_2)}{P(E_1)}$$

Je commence pas calculer le dénominateur: Les issues gagnantes sont:
TTTTTR
TTTTRT
TTTRTT
TTRTTT
TRTTTT
RTTTTT

Ce qui correspond à 6 issues sur les 64. Par conséquent, $$P(E_1) = 6 \cdot 0.4^5 \cdot 0.6 \simeq 0.037$$

En ce qui concerne $P(E_1 \bigcap E_2)$, les 3 premières tentatives se sont soldées pas un T. Ainsi, les issues possibles sont:
TTTTTR
TTTTRT
TTTRTT

et j'aboutis à $$P(E_1 \bigcap E_2) = 3 \cdot 0.4^5 \cdot 0.6 \simeq 0.018$$

Donc, $$P(E_1 | E_2) \simeq 0.5$$
ce qui n'est pas du tout en accord avec le résultat attendu...

d) Je n'ai même pas la moindre idée de la façon dont je peux débuter l'exercice.

Merci de votre aide.