Fonction de densité marginale - intervalle

Bonjour,
voici un exercice où j'ai du mal à comprendre la correction.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires continues de fonction de densité jointe $f^{(X;Y)}(x,y)$. On donne la fonction de densité conditionnelle de $Y$ sachant que $X$ prend la valeur $x$ : $$
f^{Y|X=x}(y) = \mathbb{1}_{[x,x+1]}(y),$$ ainsi que la fonction de densité marginale de $X$ $$
f^X(x) = \mathbb{1}_{[0,1]}(x).
$$ On me demande de calculer $E[Y]$ et je sais que je dois partir du fait que
\begin{align*}
f^{(X,Y)}(x,y) &= f^{Y|X=x}(y)f^X(x)\\
& =\mathbb{1}_{[x,x+1]}(y)\mathbb{1}_{[0,1[}(x).
\end{align*}
Et là on me dit dans la résolution que tout ceci, c'est égal à $\mathbb{1}_{[0,1]}(y)\mathbb{1}_{[0,y]}(x) + \mathbb{1}_{[1,2]}(y)\mathbb{1}_{[y-1,1]}(x)$

J'aimerais savoir comment on a trouvé ces intervalles et surtout en quoi, cela nous aide dans le calcul ? Pourquoi ne pas garder les intervalles $[x,x+1]$ et $[0,1]$.
Merci à tous.