Indépendance de Bernoulli.
Salut à tous.
Si $ U = \sum_{i \geq 1} \frac{X_{i}}{2^{i}}$ suit une loi uniforme. Avec $X_{i} \in \{0;1\}$ ps.
Alors $X_{i}$ sont des va iid de loi $B(1/2)$
Pour montrer cela on me propose de montrer que $P( \cap_{j=1}^{k} X_{j} = i_{j}) = \frac{1}{2^{k}}$
Mais ce n'est pas clair que l'énoncé est équivalent à cette vérification, pouvez-vous me l'expliquer s'il vous plaît.
D'ores et déjà je sais que les $X_{i}$ sont des Bernoulli. Je comprends aussi que le calcul montre que $X_{1}$ en est une de paramètre $1/2$ mais je suis loin du compte !
[Surtout dans le titre, Bernoulli ne prend pas de 'i' avant les deux 'll'. ;-) AD]
Si $ U = \sum_{i \geq 1} \frac{X_{i}}{2^{i}}$ suit une loi uniforme. Avec $X_{i} \in \{0;1\}$ ps.
Alors $X_{i}$ sont des va iid de loi $B(1/2)$
Pour montrer cela on me propose de montrer que $P( \cap_{j=1}^{k} X_{j} = i_{j}) = \frac{1}{2^{k}}$
Mais ce n'est pas clair que l'énoncé est équivalent à cette vérification, pouvez-vous me l'expliquer s'il vous plaît.
D'ores et déjà je sais que les $X_{i}$ sont des Bernoulli. Je comprends aussi que le calcul montre que $X_{1}$ en est une de paramètre $1/2$ mais je suis loin du compte !
[Surtout dans le titre, Bernoulli ne prend pas de 'i' avant les deux 'll'. ;-) AD]
Réponses
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Tu as déjà compris pourquoi on obtient que $X_1$ est une Bernoulli de paramètre $1/2$ (il suffit de prendre $k=1$). Ensuite, en prenant $k=2$, montre que $X_2$ est également une telle Bernoulli en conditionnant selon que $X_1$ vaut $0$ ou $1$.
-
Pardon mais le "dors et déjà" me pique les yeux ainsi que l'orthographe du nom propre.
Je ne connaissais pas ce résultat qui ne me semble pas facile à accepter.
S -
Oui effectivement, par itération. Merci.
Toutefois pour l'indépendance, on a ici une indépendance du type la famille $(X_{i})_{1\le i \le k}$ est indépendante (les variables sont indépendantes entres elles). Mais je m'attendais à un résultat, qui me semble plus fort, pour toute partie finie de $N^{*}$ la famille est indépendante. -
C'est corrigé merci
.
Je peux vous envoyer la photo de la preuve si vous le désirez. -
Bernoulli n'était pas une nouille.
-
Il y a deux ingrédients pour le fait évoqué par l'énoncé
1) $(X_n)_{n\ge 1}$ indépendantes $\iff$ pour tout $N\ge 1$, $(X_1,\dots,X_N)$ indépendantes
2) $X_1,\dots,X_N$ indépendantes de lois respectives $\mu_1,\dots,\mu_N$ $\iff$ $P_{(X_1,\dots,X_N)}=\mu_1\otimes\dots\otimes \mu_N$. -
Ah oui je vois l'astuce ! $X_{n} \in R$ permet de retrouver la définition.
Merci !
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