Événements quasi impossibles

Dans le cas fini, si jamais on a un événement quasi-impossible, mais pas impossible, on peut toujours éliminer ce fait en changeant d'espace, en enlevant les points de probabilité nulle.
Le point clef est qu'une probabilité sur un ensemble fini (ou dénombrable) est "atomique", c'est à dire portée par des points; ce n'est plus le cas pour un espace non-dénombrable.
Ainsi, dans le dernier exemple de Lltav, même si on est chagriné de $P(\{x\})=0$, on ne peut évidemment enlever tous les points $x$ sans dommage.

Il est facile d'avoir des événements quasi impossibles dans les probas dur univers fini. Par exemple modélisons le jet d'un dé avec l'univers {0,1,2,3,4,5,6} et pour les issues de 1 à 6, correspondant à la sortie de même valeur du dé, la probabilité classique $\frac 1 6$; l'événement {0} a une probabilité nulle.
Mais comme ça ne sert à rien d'avoir ce 0, on ne fait pas ainsi. Cependant, dans certaines situations, on a une liste d'issues avec au milieu une qui n'arrive jamais (*), et, pour des raisons de présentation, on peut écrire une table pour la loi de probabilité avec des probas nulles.

Cordialement.

(*) ou plusieurs, par exemple un dé qui a des faces 1, 2, 3, et 8, 9, 10

gerard0 a écrit:

Il est facile d'avoir des événements quasi impossibles dans les probas d'un univers fini. Par exemple modélisons le jet d'un dé avec l'univers {0,1,2,3,4,5,6} et pour les issues de 1 à 6, correspondant à la sortie de même valeur du dé, la probabilité classique 1/6; l'événement {0} a une probabilité nulle.

N'est-ce pas en contradiction avec la définition de l'univers comme "l'ensemble de tous les résultats pouvant être obtenus au cours d'une expérience aléatoire", définition que l'on trouve un peu partout ?

Désolé pour le déterrage de topic, mais c'est une question que je me suis posée lors de l'élaboration de mon cours de 2nde. En effet, je définis l'univers oméga comme entre guillemets ci-dessus. Ensuite, j'ai suivi les manuels qui disent qu'on définit une Loi De Probabilité en associant à chaque issue un réel de [0 ; 1] de sorte que la somme soit 1.

Je me suis dit qu'un élève pourrait se demander pourquoi on inclut le 0, car si l'on attribue une proba de 0 à une issue, alors c'est qu'elle ne peut pas se réaliser ([small]en tout cas quand oméga est fini, ce qui est le cas en 2nde[/small]), donc qu'elle ne devrait pas être dans l'univers selon la définition du cours.
Dans le cas où oméga est fini, ne serait-il pas plus cohérent de restreindre à ]0 ;1]⁽¹⁾ ou alors de changer la définition de l'univers ?

Un collègue m'a rappelé qu'en fait, une LDP est une application de T dans [0 ; 1], avec T une tribu sur oméga. La définition d'une LDP qu'on donne dans le secondaire est donc erronée. Ici, l'inclusion du zéro s'explique très bien, vu que { } appartient à T et que la proba de { } est 0 (évènement impossible).

Pour autant, dans le cas fini qui nous intéresse en 2nde, l'ensemble des parties d'oméga (ie. la tribu totale) convient et la LDP est entièrement déterminée en associant à chaque évènement élémentaire un réel de [0 ; 1]. En effet, la proba de toute partie non vide X d'oméga s'obtient dans ce cas en ajoutant les probas des évènements élémentaires dont la réunion est X (car cette réunion est forcément dénombrable).

Du coup, la problématique initiale subsiste sous une nouvelle forme : la proba d'un évènement élémentaire peut-elle valoir 0 dans le cas où l'univers est fini ?

Si oui, alors n'est-ce pas en contradiction avec la définition de l'univers comme "l'ensemble de tous les résultats pouvant être obtenus au cours d'une expérience aléatoire" ?
Sinon, alors pourquoi aucune des définitions d'une LDP que j'ai trouvée ne semble l'interdire (en ne réservant le 0 qu'à { }).

Bref, autant je vois bien la différence entre quasi-impossible et impossible dans le cas d'un univers infini ([small]où des évènements de probas nulles peuvent se réaliser[/small]), autant j'ai du mal dans le cas d'un univers fini ([small]notamment en quoi {0} serait quasi-impossible sans être impossible tout court dans l'exemple de la citation initiale[/small]).

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[small]⁽¹⁾ Certes, ]0 ; 1] est contenu dans [0 ; 1], mais on essaye généralement d'être le plus précis possible, on va éviter d'écrire dans le cours que cosinus est une fonction de R dans [-2 ; 3] par exemple.[/small]

marsup a écrit:

Je pense que c'est une très mauvaise idée pédagogique de prendre des univers explicites.

C'est vrai que c'est ça qui peut créer de la difficulté là où n'y en a pas, car les évènements élémentaires de probabilité nulle dans un univers fini ne posent aucun problème par ailleurs et sont parfaitement cohérents avec la théorie.

Du coup, qu'est-ce qui serait pédagogiquement plus pertinent selon toi comme définition de l'univers dans un cours de 2nde ?

Le truc, c'est que le terme est explicitement mentionné dans le programme et peut donc apparaître dans un énoncé de bac, par exemple. Sans s'appesantir, il me paraît délicat de n'en pas donner de définition du tout (d'autant qu'après on définit une issue comme un élément de l'univers).

Ça pourrait donner quelque chose dans ce goulag, même si ce n'est pas folichon :

Définition : "Un univers d'une expérience aléatoire est un ensemble de résultats qui contient tous ceux qui peuvent être obtenus".

Remarque : Quand un énoncé demande l'univers d'une e.a., on se restreint seulement aux résultats qui peuvent être obtenus.

Bonjour gerard0,

C'est bien là toute la difficulté de l'enseignement dans le secondaire : on est tiraillé entre d'une part la volonté de ne pas trahir la discipline et d'éviter les incohérences dans nos cours, et d'autre part de préparer les élèves aux questions qu'ils trouveront dans les exercices et aux examens nationaux (comme "Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?" ou "Quelles en sont les issues").

De ce que je comprends, c'est au moment de modéliser qu'on choisit un univers adapté, mais l'univers d'un espace probabilisé est défini dans l'absolu, sans faire appel à une e.a. particulière. C'est ce mélange des genres entre définition formelle et modélisation dans la façon d'introduire la notion d'univers au lycée qui est contestable.

Toujours est-il que je suis tout de même plus ou moins tenu de définir cette notion dans mon cours... Je pensais à :

"Pour une expérience aléatoire, un univers est un ensemble comprenant tous les résultats possibles de celle-ci".

Ainsi {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} satisfait bien la définition et je ne peux pas avoir de questions embarrassantes sur le fait que ma définition d'une LDP permet d'attribuer une proba de 0 à un événement élémentaire de l'univers, alors qu'on a défini ce dernier comme seulement composé des résultats qui peuvent se réaliser.

Merci en tout cas pour vos réponses très claires à marsup et à toi.

Bonjour,

Le choix de l'univers n'est pas forcément indifférent.
Par exemple, si on tire deux dés et qu'on s'intéresse à la somme des deux nombres donnés par les dés, on pourrait se dire que l'univers naturel est l'ensemble {2,3,...,12}. Mais ce n'est pas un choix très malin, parce qu'alors les issues ne sont pas équiprobables. Travailler avec l'univers formé des couples d'entiers de 1 à 6 est plus satisfaisant, parce qu'alors on peut raisonnablement dire que les issues sont équiprobables. (Prendre comme univers l'ensemble des paires ne serait pas non plus raisonnable.)

La question "Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?" est assez problématique. "Décrire un univers permettant de modéliser simplement cette expérience aléatoire" serait plus satisfaisant intellectuellement, mais sans doute trop complexe.

Certes, ça ne résout pas ce genre de situations, mais la dernière formulation de GBZM me semble néanmoins bien meilleure que ce qu'on trouve souvent dans les exercices des manuels (je m'en inspirerai d'ailleurs pour les énoncés par moi rédigés). Par ailleurs, c'est sûr qu'il est plus pratique de choisir un univers où il y a équiprobabilité quand on le peut.

Je retiens la suggestion de marsup pour ma remarque.

Sinon, pour la définition d'un univers, laquelle des deux formulations ci-dessous vous paraît la plus compréhensible et la moins incorrecte pour des élèves de 2nde :

Définition 1 a écrit:

"Un univers d'une expérience aléatoire est un ensemble de résultats qui contient tous ceux qui peuvent être obtenus"

Définition 2 a écrit:

"Pour une expérience aléatoire, un univers est un ensemble comprenant tous les résultats possibles de celle-ci"

Les deux permettent des univers "plus grands" comme {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} dans l'exemple de gerard0.

gerard0 a écrit:

S'il te faut absolument une définition, prends ce que tu veux, tu seras obligé de ne pas l'appliquer.

Ah... Pourtant, comme il y a écrit "un univers", ce n'est pas très restrictif et ça montre qu'on a le choix.

La seule "contrainte" que donnent ces définitions, c'est qu'un univers doit être "suffisamment grand" pour pouvoir représenter tous les résultats possibles. Du coup, il me semblait qu'elles étaient toutes deux toujours applicables quelle que soit la modélisation choisie.

Je suis bien d'accord avec tout ce que tu as écrit gerard0 et il me semble l'avoir plutôt compris (ne pas confondre la théorie des probas avec le processus de modélisation et encore moins avec une situation concrète particulière).

Je peux certes choisir les exercices, mais certaines formulations aberrantes sont hélas classiques et se retrouvent donc souvent au bac. Je dois bien y préparer les élèves, mais tu as raison de dire qu'il faut leur expliquer quand les énoncés "n'ont aucun sens" (pour reprendre tes termes).

Il me semble qu'aucune des deux définitions proposées n'empêche tout ça et qu'elles sont "moins incorrectes" (si j'ose dire) que celles qu'on rencontre le plus souvent en classe de 2nde (dans le sens où elles n'interdisent pas d'utiliser un univers dont certains événements élémentaires sont de proba nulle).

Enfin, c'est précisément dans l'optique de trouver un équilibre entre "ne pas caricaturer les probas" et "rester compréhensible pour des élèves de 2nde" que je venais demander conseil ici. Je vous remercie d'ailleurs du temps que vous prenez pour me répondre.