Événements quasi impossibles
Bonsoir à tous,
Je rencontre dans de nombreux ouvrages de deuxième année que lorsque l'univers est infini, on peut avoir des événements quasi impossibles sans qu'ils soient impossibles et idem avec quasi certain et certain.
Je ne vois pas pourquoi ce ne serait pas le cas également pour les univers finis et pourtant, je ne rencontre pas ce résultat dans les chapitres où sont traités les univers finis.
Qu'en pensez-vous ?
Pour que l'on soit d'accord sur les définition : un événement $A$ est dit quasi impossible lorsque $\mathbb{P}(A)=0$ et il est dit impossible lorsque $A=\emptyset$.
Merci d'avance de vos réponses.
Je rencontre dans de nombreux ouvrages de deuxième année que lorsque l'univers est infini, on peut avoir des événements quasi impossibles sans qu'ils soient impossibles et idem avec quasi certain et certain.
Je ne vois pas pourquoi ce ne serait pas le cas également pour les univers finis et pourtant, je ne rencontre pas ce résultat dans les chapitres où sont traités les univers finis.
Qu'en pensez-vous ?
Pour que l'on soit d'accord sur les définition : un événement $A$ est dit quasi impossible lorsque $\mathbb{P}(A)=0$ et il est dit impossible lorsque $A=\emptyset$.
Merci d'avance de vos réponses.
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Réponses
Ces événements quasi-impossibles et quasi-certains existent mathématiquement aussi dans les univers finis mais ils sont simplement confondus avec les événements respectivement impossibles et certains dans certaines hypothèses traditionnelles comme l'équiprobabilité, où il n'est pas besoin de définir de tels événements indépendamment. Dans les univers infinis, par contre, ils sont plus souvent distincts, même en cas d'équiprobabilité.
En univers $\Omega$ infini, ou fini de cardinal $n$, il est clair suivant tes définitions qu'un événement impossible (resp. certain) est quasi-impossible (resp. quasi-certain) : $(A = \emptyset \Rightarrow P(A) = 0)$ et $(A = \Omega \Rightarrow P(A) = 1)$. Pour la réciproque, imagine un événement quasi-impossible $P(A) = 0$.
On se place en univers fini. Supposons par l'absurde cet événement $A$ non vide. Il peut alors se décomposer en $p > 0$ événements élémentaires (les issues possibles d'une expérience aléatoire) $A_k$, par définition non vides, de $\Omega$ tels que : $A = \cup_{1\leq k \leq p} A_k$ et pour tout $1\leq i,j \leq p$, $A_i \cap A_j = \emptyset$. On a alors : $P(A) = P(\cup_{1\leq k \leq p} A_k) = \sum_{k=1}^p P(A_k) = 0$ (définitions et propriétés de base dans ton cours). Comme chaque $P(A_k)$ est positive ou nulle, alors $\forall k \in [1,p]$, $P(A_k) = 0$. Or dans l'hypothèse d'équiprobabilité des issues dans un univers fini, c'est absurde, puisque les événements élémentaires $A_k$ de $\Omega$ vérifient : $\forall k\in [1,n]$, $P(A_k) = 1/n$. Ainsi, $A = \emptyset$. Tu peux généraliser cette preuve à un événement quasi-certain $B$ en raisonnant sur son complémentaire quasi-impossible $\bar{B}$ qui vérifie donc $P(\bar{B}) = 0$.
En univers infini par contre, dans l'hypothèse d'équiprobabilité, ces deux types événements sont distincts. Un événement quasi-impossible $A$ vérifiant $P(A)=0$ n'est pas forcément un événement vide. Tu ne trouveras plus de contradiction dans le raisonnement ci-dessus, au contraire, on a nécessairement $P(A_k) =0$ pour chaque événement élémentaire non vide $A_k$ (fais tendre $n$ vers l'infini pour mieux voir). Prends par exemple (classiquement), le segment réel $\Omega = [0,1]$. Soit $P(x)$ la probabilité de "tirer le réel $x$ dans $\Omega$" : l'équiprobabilité et la propriété de sigma-additivité impliquent alors que $P(x)=0$, pourtant chaque événement $x$ est une issue non vide dans $\Omega$.
Le point clef est qu'une probabilité sur un ensemble fini (ou dénombrable) est "atomique", c'est à dire portée par des points; ce n'est plus le cas pour un espace non-dénombrable.
Ainsi, dans le dernier exemple de Lltav, même si on est chagriné de $P(\{x\})=0$, on ne peut évidemment enlever tous les points $x$ sans dommage.
Mais comme ça ne sert à rien d'avoir ce 0, on ne fait pas ainsi. Cependant, dans certaines situations, on a une liste d'issues avec au milieu une qui n'arrive jamais (*), et, pour des raisons de présentation, on peut écrire une table pour la loi de probabilité avec des probas nulles.
Cordialement.
(*) ou plusieurs, par exemple un dé qui a des faces 1, 2, 3, et 8, 9, 10
Sans l'hypothèse d'équiprobabilité, il devient parfaitement possible et facile même (voir messages ci-dessus) d'introduire des événements non vides et quasi-impossible dans les univers finis, comme dans les univers infinis - de même pour les quasi-certains.
Avec l'hypothèse d'équiprobabilité, ce n'est plus possible : elle permet de distinguer les cas univers finis et infinis pour ce qui est de l'existence d'événements non vides quasi-impossible ou quasi-certains.
N.B.N'oublie pas que j'ai insisté sur l'hypothèse d'équiprobabilité parce qu'elle est traditionnellement proposée dans les cours d'initiation au calcul des probabilités en univers fini, ce qui expliquerait pourquoi tu n'y trouves pas mention des événements quasi-impossibles ou quasi-certains - puisqu'ils sont respectivement impossibles et certains. Mais il existe bien sûr une infinité de lois de probas à issues non-équiprobables où ces événements quasi-impossibles/impossibles (ou quasi-certains/certains) sont également confondus en univers fini (par exemple les lois non uniformes où aucune issue n'est de proba nulle). Pour les lois qui ne les confondent pas, les "quasi-[...]" sont éliminables, comme rappelé ci-dessus - sauf en univers infini.
Bonne continuation.
N'est-ce pas en contradiction avec la définition de l'univers comme "l'ensemble de tous les résultats pouvant être obtenus au cours d'une expérience aléatoire", définition que l'on trouve un peu partout ?
Désolé pour le déterrage de topic, mais c'est une question que je me suis posée lors de l'élaboration de mon cours de 2nde. En effet, je définis l'univers oméga comme entre guillemets ci-dessus. Ensuite, j'ai suivi les manuels qui disent qu'on définit une Loi De Probabilité en associant à chaque issue un réel de [0 ; 1] de sorte que la somme soit 1.
Je me suis dit qu'un élève pourrait se demander pourquoi on inclut le 0, car si l'on attribue une proba de 0 à une issue, alors c'est qu'elle ne peut pas se réaliser ([small]en tout cas quand oméga est fini, ce qui est le cas en 2nde[/small]), donc qu'elle ne devrait pas être dans l'univers selon la définition du cours.
Dans le cas où oméga est fini, ne serait-il pas plus cohérent de restreindre à ]0 ;1](1) ou alors de changer la définition de l'univers ?
Un collègue m'a rappelé qu'en fait, une LDP est une application de T dans [0 ; 1], avec T une tribu sur oméga. La définition d'une LDP qu'on donne dans le secondaire est donc erronée. Ici, l'inclusion du zéro s'explique très bien, vu que { } appartient à T et que la proba de { } est 0 (évènement impossible).
Pour autant, dans le cas fini qui nous intéresse en 2nde, l'ensemble des parties d'oméga (ie. la tribu totale) convient et la LDP est entièrement déterminée en associant à chaque évènement élémentaire un réel de [0 ; 1]. En effet, la proba de toute partie non vide X d'oméga s'obtient dans ce cas en ajoutant les probas des évènements élémentaires dont la réunion est X (car cette réunion est forcément dénombrable).
Du coup, la problématique initiale subsiste sous une nouvelle forme : la proba d'un évènement élémentaire peut-elle valoir 0 dans le cas où l'univers est fini ?
Si oui, alors n'est-ce pas en contradiction avec la définition de l'univers comme "l'ensemble de tous les résultats pouvant être obtenus au cours d'une expérience aléatoire" ?
Sinon, alors pourquoi aucune des définitions d'une LDP que j'ai trouvée ne semble l'interdire (en ne réservant le 0 qu'à { }).
Bref, autant je vois bien la différence entre quasi-impossible et impossible dans le cas d'un univers infini ([small]où des évènements de probas nulles peuvent se réaliser[/small]), autant j'ai du mal dans le cas d'un univers fini ([small]notamment en quoi {0} serait quasi-impossible sans être impossible tout court dans l'exemple de la citation initiale[/small]).
[small](1) Certes, ]0 ; 1] est contenu dans [0 ; 1], mais on essaye généralement d'être le plus précis possible, on va éviter d'écrire dans le cours que cosinus est une fonction de R dans [-2 ; 3] par exemple.[/small]
Je pense que c'est une très mauvaise idée pédagogique de prendre des univers explicites.
Après, on se retrouve avec des étudiants qui posent des tonnes de questions qui sont absolument dépourvues d'intérêt, alors qu'il y a tant de choses passionantes à faire en probas.
La réponse à ceci : est oui : rien ne l'interdit dans les axiomes de Kolmogorov.
Après, franchement, ça n'a a aucune espèce d'importance.
C'est vrai que c'est ça qui peut créer de la difficulté là où n'y en a pas, car les évènements élémentaires de probabilité nulle dans un univers fini ne posent aucun problème par ailleurs et sont parfaitement cohérents avec la théorie.
Du coup, qu'est-ce qui serait pédagogiquement plus pertinent selon toi comme définition de l'univers dans un cours de 2nde ?
Ça pourrait donner quelque chose dans ce goulag, même si ce n'est pas folichon :
Définition : "Un univers d'une expérience aléatoire est un ensemble de résultats qui contient tous ceux qui peuvent être obtenus".
Remarque : Quand un énoncé demande l'univers d'une e.a., on se restreint seulement aux résultats qui peuvent être obtenus.
Marsup a parfaitement répondu. Je fais seulement une remarque sur "Quand un énoncé demande l'univers d'une e.a." : Quand un énoncé demande ça c'est que son auteur ne connaît rien aux probas. Il n'y a pas un univers associé à un énoncé concret, puisque c'est la modélisation choisie qui va définir un univers (ou même pas, comme dans pas mal d'exercices de probas conditionnelles); pour un lancer de dés, l'univers {0,1,2,3,4,5,6} est tout à fait acceptable, voire l'univers $\mathbb R$ (c'est d'une certaine façon ce qu'on fait quand on ne retient plus que la variable aléatoire réelle "valeur du dé").
Même la question "quelles sont les issues ?" pose problème dès que la situation n'est pas purement conventionnelle. Et c'est l'une des difficultés de l'enseignement des probas en secondaire : Il y a souvent différentes façons de définir les issues (*).
Cordialement.
(*) tirage de deux boules sans remise : issues les couples de 2 boules, ou les ensembles de 2 boules ? Aucune importance si l'ordre de tirage n'intervient pas dans les événements traités.
C'est bien là toute la difficulté de l'enseignement dans le secondaire : on est tiraillé entre d'une part la volonté de ne pas trahir la discipline et d'éviter les incohérences dans nos cours, et d'autre part de préparer les élèves aux questions qu'ils trouveront dans les exercices et aux examens nationaux (comme "Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?" ou "Quelles en sont les issues").
De ce que je comprends, c'est au moment de modéliser qu'on choisit un univers adapté, mais l'univers d'un espace probabilisé est défini dans l'absolu, sans faire appel à une e.a. particulière. C'est ce mélange des genres entre définition formelle et modélisation dans la façon d'introduire la notion d'univers au lycée qui est contestable.
Toujours est-il que je suis tout de même plus ou moins tenu de définir cette notion dans mon cours... Je pensais à :
"Pour une expérience aléatoire, un univers est un ensemble comprenant tous les résultats possibles de celle-ci".
Ainsi {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} satisfait bien la définition et je ne peux pas avoir de questions embarrassantes sur le fait que ma définition d'une LDP permet d'attribuer une proba de 0 à un événement élémentaire de l'univers, alors qu'on a défini ce dernier comme seulement composé des résultats qui peuvent se réaliser.
Merci en tout cas pour vos réponses très claires à marsup et à toi.
Je trouve ça très bien ! (tu) Je rajoute une suggestion en couleur.
Le choix de l'univers n'est pas forcément indifférent.
Par exemple, si on tire deux dés et qu'on s'intéresse à la somme des deux nombres donnés par les dés, on pourrait se dire que l'univers naturel est l'ensemble {2,3,...,12}. Mais ce n'est pas un choix très malin, parce qu'alors les issues ne sont pas équiprobables. Travailler avec l'univers formé des couples d'entiers de 1 à 6 est plus satisfaisant, parce qu'alors on peut raisonnablement dire que les issues sont équiprobables. (Prendre comme univers l'ensemble des paires ne serait pas non plus raisonnable.)
La question "Quel est l'univers de cette expérience aléatoire ?" est assez problématique. "Décrire un univers permettant de modéliser simplement cette expérience aléatoire" serait plus satisfaisant intellectuellement, mais sans doute trop complexe.
C 'est très bien !
mais ça ne résout pas les situations où il y a plusieurs univers possibles : Quelles sont les issues ? Et si les boules sont trois blanches et trois noires :
{(blanc blanc), (blanc,noir),(noir blanc),(noir, noir))} ou {2B, 1B1N, 2N}, ou {(B1,B2), (B1,B3),(B2,B1), ...(N2,N3)}, ou {{B1,B2},(B1,B3},{B2,B3},{N1,N2},(N1,N3},{N2,N3}} ou ...
En fait, les issues à considérer dépendent
* Des questions qu'on se pose
* de la possibilité ou non d'utiliser des méthodes simples (équiprobabilité par exemple)
A l'époque où on faisait des probas finies en terminale C, un sujet de bac a même eu un énoncé parfaitement interprétable de deux façons différentes. je le faisais toujours faire à mes élèves, pour qu'ils apprennent à dire quelle interprétation ils donnent à l'énoncé avant de le traiter.
Cordialement.
Je retiens la suggestion de marsup pour ma remarque.
Sinon, pour la définition d'un univers, laquelle des deux formulations ci-dessous vous paraît la plus compréhensible et la moins incorrecte pour des élèves de 2nde :
Les deux permettent des univers "plus grands" comme {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} dans l'exemple de gerard0.
C'est ce que tu diras autour qui va compter, par exemple que devant un exercice, on va chercher un modèle (univers, loi de probabilité) qui permet de bien traduire ce qui se passe et les événements qui nous intéressent. Voire même de changer d'univers et de loi en cours de route.
Cordialement.
Ah... Pourtant, comme il y a écrit "un univers", ce n'est pas très restrictif et ça montre qu'on a le choix.
La seule "contrainte" que donnent ces définitions, c'est qu'un univers doit être "suffisamment grand" pour pouvoir représenter tous les résultats possibles. Du coup, il me semblait qu'elles étaient toutes deux toujours applicables quelle que soit la modélisation choisie.
Est-ce que tu te rends compte qu'il n'y a rien de mathématique dans ta notion de "résultat" ? Que le mot "issue" n'est que la traduction de "élément d'un univers des possibles adapté" ?
Le but est d'enseigner les probas, pas de les caricaturer. Et comme c'est toi qui décides des exercices à faire, tu peux facilement éliminer les énoncés aberrants; ou expliquer aux élèves que ces énoncés n'ont aucun sens, ce qui est l'occasion d'expliquer ce qu'on fait vraiment en probas : modèle, traitement des informations, traduction "concrète". Exactement comme dans le reste des exercices de maths à sujet concret (le mur n'est jamais parfaitement droit et vertical, mais on applique quand même le théorème de Pythagore).
Cordialement.
Je peux certes choisir les exercices, mais certaines formulations aberrantes sont hélas classiques et se retrouvent donc souvent au bac. Je dois bien y préparer les élèves, mais tu as raison de dire qu'il faut leur expliquer quand les énoncés "n'ont aucun sens" (pour reprendre tes termes).
Il me semble qu'aucune des deux définitions proposées n'empêche tout ça et qu'elles sont "moins incorrectes" (si j'ose dire) que celles qu'on rencontre le plus souvent en classe de 2nde (dans le sens où elles n'interdisent pas d'utiliser un univers dont certains événements élémentaires sont de proba nulle).
Enfin, c'est précisément dans l'optique de trouver un équilibre entre "ne pas caricaturer les probas" et "rester compréhensible pour des élèves de 2nde" que je venais demander conseil ici. Je vous remercie d'ailleurs du temps que vous prenez pour me répondre.