$\pi$-système

Bonjour,

Soit $\mathcal P=\{]-\infty,a],a\in\mathbf R\}\cup\{\mathbf R\}$, qui est un $\pi$-système sur $\mathbf R$. J'essaie de montrer que $\sigma (\mathcal P)=\mathcal B(\mathbf R)$. L'inclusion $\supset$ est facile. Pour l'autre inclusion, comme tout ouvert de $\mathbf R$ est réunion dénombrable d'intervalle ouverts (2 à 2 disjoints, mais ça ne sert pas ici), il suffit de montrer que tout intervalle ouvert est dans $\sigma (\mathcal P)$. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbf R$.

Si $I=\emptyset$, c'est bon.
Si $I=\mathbf R$, c'est bon.
Si $I=]a,+\infty[$, c'est bon, par passage au complémentaire.
Si $I=]-\infty, a[$, je bloque.
Il me restera ensuite le cas $I=]a,b[$ mais je pense que c'est exprimable en fonction des cas précédents.