$\pi$-système
Bonjour,
Soit $\mathcal P=\{]-\infty,a],a\in\mathbf R\}\cup\{\mathbf R\}$, qui est un $\pi$-système sur $\mathbf R$. J'essaie de montrer que $\sigma (\mathcal P)=\mathcal B(\mathbf R)$. L'inclusion $\supset$ est facile. Pour l'autre inclusion, comme tout ouvert de $\mathbf R$ est réunion dénombrable d'intervalle ouverts (2 à 2 disjoints, mais ça ne sert pas ici), il suffit de montrer que tout intervalle ouvert est dans $\sigma (\mathcal P)$. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbf R$.
Si $I=\emptyset$, c'est bon.
Si $I=\mathbf R$, c'est bon.
Si $I=]a,+\infty[$, c'est bon, par passage au complémentaire.
Si $I=]-\infty, a[$, je bloque.
Il me restera ensuite le cas $I=]a,b[$ mais je pense que c'est exprimable en fonction des cas précédents.
Soit $\mathcal P=\{]-\infty,a],a\in\mathbf R\}\cup\{\mathbf R\}$, qui est un $\pi$-système sur $\mathbf R$. J'essaie de montrer que $\sigma (\mathcal P)=\mathcal B(\mathbf R)$. L'inclusion $\supset$ est facile. Pour l'autre inclusion, comme tout ouvert de $\mathbf R$ est réunion dénombrable d'intervalle ouverts (2 à 2 disjoints, mais ça ne sert pas ici), il suffit de montrer que tout intervalle ouvert est dans $\sigma (\mathcal P)$. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbf R$.
Si $I=\emptyset$, c'est bon.
Si $I=\mathbf R$, c'est bon.
Si $I=]a,+\infty[$, c'est bon, par passage au complémentaire.
Si $I=]-\infty, a[$, je bloque.
Il me restera ensuite le cas $I=]a,b[$ mais je pense que c'est exprimable en fonction des cas précédents.
Réponses
-
Comme d'habitude, $$]-\infty, a[ = \bigcup_{n \geq 1} ]-\infty, a - \frac{1}{n}].$$
-
Merci.
Et $]a,b[$ est le complémentaire de $]-\infty,a]\cup [b,+\infty[$ avec $[b,+\infty[$ qui est le complémentaire de $]-\infty,b[$ qui est dans $\sigma (\mathcal P)$ d'après ce qui précède.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres