Calculer le nombre de combinaisons possibles

Ta 3ème contrainte va encore dégraisser le nombre de possibilités $N_1$ calculé au-dessus.

Il faut éviter tout ce qui est du type : AABCDEF, BAACDEF, BCAADEF, [...], BCDEFAA. Ce qui fait combien pour la lettre A ? 6 possibilités. Pareil pour toutes les autres lettres, ce qui élimine $6*26 =156$ possibilités.

Ton nouveau nombre de possibilités est donc : $N_1 - 156$. Tu suis ?

Si c'est juste pour des besoins informatiques, tu peux tirer au hasard 10000 suites de 8 lettres, et tu comptes combien satisfont toutes les conditions sauf la dernière, et combien satisfont toutes les conditions, ça te donnera une idée.

Rams3s, ne n'ai pas le temps pardon, mais bien sûr que c'est possible. Maintenant c'est simple. Calcule toutes les possibilités de la dernière contrainte : le nombre de possibilités d'avoir un mdp de plus d'une séquence de deux mêmes lettres + nombre de plus d'une séquence de trois lettres + [...] + nombre de plus d'une séquence de 7 lettres (on n'a plus qu'une séquence pour 8 lettres).

En tout cas, je pense que c'est pénible à faire à la main. Déjà, si on prend les deux premières contraintes, j'obtiens en posant $n=26$ :

$n(n-1)\cdots (n-7) +28 n(n-1)\cdots (n-6)+210n(n-1)\cdots (n-5)+420n(n-1)\cdots (n-4)+105 n(n-1)(n-2)(n-3)$

ce qui fait $193983426000$. Je n'ai pas le même nombre que Ltav donc au moins l'un de nous s'est trompé. Si on rajoute la troisième contrainte c'est encore calculable sans trop de peine, mais avec la quatrième contrainte ça m'a l'air un peu pénible donc j'ai la flemme. Mais intuitivement il me semble que la quatrième contrainte ne retire pas beaucoup de possibilités.

Rams3s : j'essaierais de regarder plus attentivement ce soir, je n'ai peut-être pas bien lu le problème. Bon courage.

Edit : ce message, ainsi que les 8 suivants, concernent une version antérieure du message ci-dessus qui a été corrigé depuis.

Ltav, ton résultat est supérieur à $26^8$, ce n'est pas possible.

Oui, j'ai mal traduit mon raisonnement dans la formule : il est clair qu'on ne peut pas avoir "7 lettres sont différentes, 1 couple de lettres identiques", mais "6 lettres sont différentes, 1 couple de lettres identiques", "4 lettres sont différentes, 2 couple de lettres identiques", etc. puisqu'il faut 8 lettres au total à chaque fois. Mon raisonnement est normalement correct. Je corrige.

Non, s'il y a un couple de lettres identiques alors il y a bien 7 lettres au total. Une lettre répétée et 6 lettres non répétées. Ta formule ne reflète pas cela.

Je précise que tu choisis ce couple identique parmi les 8 lettres sans faire attention à l'ordre des deux lettres égales bien sûr (donc c'est une combinaison de 2 parmi 8 : $\binom{8}{2}$), puis tu choisis parmi les places qui restent 8 - 2 lettres différentes parmi les 26 lettres de l'alphabet, d'où : $6!*\binom{26}{6}$. C'est bien ce que j'ai écris ?

Oui, le pire est que j'en avais tenu compte dans ma première formule incorrecte.

@Ltav : j'avais utilisé plus ou moins ta méthode, c'est bien que tu aies vérifié mon calcul car on n'est jamais à l'abri d'une étourderie.

Avec les trois premières contraintes, je trouve la valeur 153 977 584 800.

Voici quelques étapes de calcul. Notons d'abord $c_j$ le nombre de $j$-uplets $(A_1,\ldots,A_j)$ tels que pour tout $i$, $A_i$ est un ensemble de deux nombres consécutifs parmi $\{1,\ldots,8\}$, et tel que les $A_1,\ldots,A_j$ soient deux à deux disjoints. On a $c_j=j!\binom{8-j}{j}=(8-j)(7-j)\cdots (9-2j)$. On a ainsi

$c_0=1$, $c_1=7$, $c_2=30$, $c_3=60$ et $c_4=24$.

En utilisant la formule du crible, on trouve que le nombre de possibilités est $\sum_{k=0}^4 a_kn(n-1)\cdots(n-7+k)$, où

$$a_k=\frac{1}{k!}\sum_{j=0}^k (-1)^k\binom{k}{j}\binom{8-2j}{2}\binom{6-2j}{2}\cdots\binom{10-2k}{2}c_j.$$

On a ainsi $a_0=1$,
$a_1=\binom{8}{2}-c_1=21$,
$a_2=\frac{1}{2}\left(\binom{8}{2}\binom{6}{2}c_0-2\binom{6}{2}c_1+c_2\right)=120$,
$a_3=\frac{1}{6}\left(\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}-3\binom{6}{2}\binom{4}{2}c_1+3\binom{4}{2}c_2-c_3\right)=185$
$a_4=\frac{1}{24}\left(\binom{8}{2}\binom{6}{2}\binom{4}{2}-4\binom{6}{2}\binom{4}{2}c_1+6\binom{4}{2}c_2-4c_3+c_4\right)=36$ donc le nombre de possibilités est
$$n\cdots(n-7)+21 n\cdots (n-6)+120 n\cdots (n-5)+185 n\cdots (n-4)+36 n\cdots (n-3).$$

@GaBuZoMeu : d'accord avec la première et la deuxième ligne. Par contre je n'ai rien compris à ton explication sur la troisième ligne. Peux-tu réexpliquer lentement ?

Peux-tu détailler ton calcul du nombre de configurations de la forme 1212 ?

Le reste m'a air bon. Le nombre que tu trouves avec 4 contraintes est inférieur de 2% au nombre que j'ai trouvé avec 3 contraintes, ce qui concorde assez bien avec mon pronostic.

Voir le message de GaBuZoMeu. Si tu ne comprends pas ses notations, regarde la définition d'un arrangement et d'une combinaison :

https://fr.wikipedia.org/wiki/Combinaison_(mathématiques)

Ca fait environ 150 milliards.