Démonstration sur l'espérance conditionnelle

Mathemataume · September 2018

Bonjour,

Je cherche à démontrer quelques propriétés sur l'espérance conditionnelle, mais je ne suis pas certain de mes raisonnements. Serait-il possible de faire une vérification ?

1) Démontrons que $E[h(X)|X]=h(X)$ pour $h$ une fonction intégrable et $X$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans un ensemble $E$.

$E[h(X)|X] = \sum\limits_{x \in E} E[h(X)|X=x]$ par la formule des probabilités totales

$\sum\limits_{x \in E} E[h(X)|X=x] = \sum\limits_{x \in E} h(x).P(X=x) = h(x)$

2) Démontrons que $E[h(X,Y)|Y=m] = E[h(X,m)|Y=m]$ pour $h$ une fonction intégrable et $X,Y$ deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble $E$.

$E[h(X,Y)|Y=m] = \sum\limits_{x,y \in E} h(x,y).P(Y=m) = \sum\limits_{x,y \in E}. h(x,m).P(Y=m) = E[h(X,m)|Y=m]$

Merci !

Poirot · September 2018

Ce que tu écris ne peut pas fonctionner !

D'un côté $\mathbb E[h(X)|X]$ est un variable aléatoire, de l'autre $\sum\limits_{x \in E} \mathbb E[h(X)|X=x]$ est un réel. Tu confonds conditionnement par rapport à une tribu (ou une variable aléatoire) et conditionnement par rapport à un événement, auquel cas tu as en fait conditionné par l'événement $\{X \in E\}=\Omega$.

Ensuite l'égalité $\sum\limits_{x \in E} h(x).P(X=x) = h(x)$ n'a pas de sens, je pense que tu voulais écrire $\sum\limits_{x \in E} h(x).P(X=x) = h(X)$, et même là c'est faux (pour les mêmes raisons que précédemment), par le théorème de transfert, $\sum\limits_{x \in E} h(x).\mathbb P(X=x) = \mathbb E(h(X))$.

Mathemataume · September 2018

Je viens de me rendre compte que je me suis trompé : l'égalité à démontrer est $\mathbb E[h(X)|X] = h(X)$ et non $\mathbb E[h(X)|X] = X$ comme je l'ai écrit, je corrige l'erreur.

Peut-on alors écrire : $E[h(X)|X] = \sum\limits_{x \in E} \mathbb E[h(X)|X = x].1_{X=x}$ ?

Poirot · September 2018

À toi de voir. Quelle est la définition de l'espérance conditionnelle par rapport à $X$ ?

Mathemataume · September 2018

L'espérance conditionnelle par rapport à X est définie comme : $\mathbb E[X|Y] = \phi (Y)$ tel que $\phi (Y) = \mathbb E[X|Y=y]$ si $P(Y=y)>0$ et $0$ sinon.

Dans notre cas, on aurait :
$\mathbb E[h(X)|X] = \phi(X)$ avec $\phi (X)$ tel que $\phi (X) = \mathbb E[h(X)|X=x]$ si $P(X=x)>0$ et $0$ sinon. Cela peut se réécrire $\phi (X) = \mathbb E[h(X)|X=x].\mathbb 1_{X=x}$

Soit : $\mathbb E[h(X)|X] = \mathbb E[h(X)|X=x].\mathbb 1_{X=x}$, ce qui montre que ce que j'ai écrit dans mon message précédent est faux ...

On a donc $\mathbb E[h(X)|X] = \mathbb E[h(X)|X=x].\mathbb 1_{X=x}$

A partir de là, $X$ étant une variable aléatoire discrète, j'ai développer en : $\mathbb E[h(X)|X=x].\mathbb 1_{X=x} = (\frac {1} {P(X=x)} \mathbb E [h(X).\mathbb 1_{X=x}]).\mathbb 1_{X=x}$, mais je ne vois pas comment continuer le calcul

Poirot · September 2018

Ta définition n'a pas de sens, je te laisse la corriger avant d'aller plus loin.

Mathemataume · September 2018

$\mathbb E[X|Y] = \phi (Y)$, tel que $\phi$ dépend de $X$, c'est la définition que j'ai dans mon cours. Mais comment aller plus loin en utilisant cette définition ?