Interprétation espérance conditionnelle

Bonjour,

Soit $(\Omega,\mathcal F,\mathbf P)$ un espace probabilisé et $\mathcal G$ une sous-tribu de $\mathcal F$. Je connais la définition rigoureuse de l'espérance conditionnelle d'une variable aléatoire $X \mathcal F$-mesurable intégrable ou positive (à valeurs dans $[0,\infty]$) sachant $\mathcal G$.

J'aimerais comprendre cette notion de façon à me souvenir et à retrouver "avec les mains" certains résultats. Pour l'instant, j'essaie de retrouver les résultats de base en interprétant $\mathcal G$ comme la quantité d'information disponible/connue.

1) Par exemple, si $\mathcal G$ est la tribu grossière, on a $\mathbf E[X\mid\mathcal G]=\mathbf E[X]$ p.s. J'arrive à comprendre ce résultat comme ça : comme la tribu grossière est celle donnant le moins d'information, la connaître n'apporte rien de plus, donc l'espérance de $X$ sachant $\mathcal G$ est simplement l'espérance de $X$, d'où le résultat.

2) Mais pour ce second résultat : si $X$ est $\mathcal G$-mesurable alors $\mathbf E[X\mid\mathcal G]=X$ p.s., à part voire que ça marche avec la démonstration rigoureuse, je n'arrive pas à intuiter la chose. Pouvez-vous m'aider ?