Formule de Bayes
Bonjour à tous,
les pseudo-probas et moi ça fait deux: Voici l'exercice
Un laboratoire a mis au point un alcootest et décide d'en vérifier la crédibilité . Les résultats
obtenus sont les suivants :
-2% des personnes contrôlées par la police sont effectivement en état d'ébriété.
-95 fois sur 100 l'alcootest s'est révélé positif alors que la personne était réellement en état
d'ébriété.
5 fois sur 100, l'alcootest s'est révélé positif, alors que la personne n'était pas en état d'ébriété.
1. Quelle est la probabilité que l'alcootest donne une indication correcte ?
2. Quelle est la probabilité qu'une personne soit réellement en état d'ébriété lorsque l'alcootest
est positif ?
Je note T quand le test est positif, S quand le sujet est saoul. Je trouve pour
1) proba test correct : $P(T\mid S)P(S)+P(T^c\mid S^c)P(S^c)=95\%$
2) formule de Bayes : $P(S\mid T)=\dfrac{P(T\mid S)P(S)}{P(T\mid S)P(S)+P(T\mid S^c)P(S^c)}$
et la ça merdouille, car je trouve $28\%$. Ca me semble bien peu.
Si quelqu'un peut éclairer ma lanterne.
Merci d'avance.
les pseudo-probas et moi ça fait deux: Voici l'exercice
Un laboratoire a mis au point un alcootest et décide d'en vérifier la crédibilité . Les résultats
obtenus sont les suivants :
-2% des personnes contrôlées par la police sont effectivement en état d'ébriété.
-95 fois sur 100 l'alcootest s'est révélé positif alors que la personne était réellement en état
d'ébriété.
5 fois sur 100, l'alcootest s'est révélé positif, alors que la personne n'était pas en état d'ébriété.
1. Quelle est la probabilité que l'alcootest donne une indication correcte ?
2. Quelle est la probabilité qu'une personne soit réellement en état d'ébriété lorsque l'alcootest
est positif ?
Je note T quand le test est positif, S quand le sujet est saoul. Je trouve pour
1) proba test correct : $P(T\mid S)P(S)+P(T^c\mid S^c)P(S^c)=95\%$
2) formule de Bayes : $P(S\mid T)=\dfrac{P(T\mid S)P(S)}{P(T\mid S)P(S)+P(T\mid S^c)P(S^c)}$
et la ça merdouille, car je trouve $28\%$. Ca me semble bien peu.
Si quelqu'un peut éclairer ma lanterne.
Merci d'avance.
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Réponses
Cela vient du fait que l'on suppose dans cette question que l'on prend un individu au hasard, donc qu'il est peu probable qu'il soit saoul.
Si on prend 10 000 personnes, 200 sont saoules et le test en dépistera 190; mais sur les 9800 autres, le test dira à tort qu'elles sont saoules dans 5% des cas, soit 490 d'entre elles !!
5% de faux positifs pour un test sur une situation rare, c'est en fait très mauvais.
Cordialement.