Fonction génératrice et moment

Bonjour, j’ai produit une démonstration du fait suivant, et j’aimerais savoir si je me suis trompé quelque part car je ne retrouve pas de demonstration semblable sur internet:
$X$ une variable aléatoire à valeur dans N, $G$ sa fonction génératrice, alors si $G$ est $p$ dérivable en 1, $X$ admet un moment d’ordre $p$.
Ma preuve: on procède par récurrence, on suppose la propriété vraie pour tout entier strictement plus petit que $p$
On sait que pour $t$ compris entre 0 et 1, strictement plus petit que 1,
$G$ est $p$ dérivable en $t$ et $G^{(p)}(t)=E( X(X-1)..(X-p+1) 1_{X \geq k} t^{X-p} )$
Par convergence monotone on a donc en prenant les limites dans R barre:
$lim_{1^{-}} G^{(p)}(t)=E( X..(X-p+1) 1_{X \geq k } )$ (*)
(On ne savait pas a priori que la première limite existait dans R barre mais on le sait désormais)
Supposons que $G^{(p-1)}$ soit dérivable en 1.
$G^{(p-1)}$ étant une série entière dont les coefficients sont positifs cela entraîne encore une fois par convergence monotone (je ne détaille pas plus, il faut écrire le taux d’accroissement puis appliquer le TCM contre la somme) que si on écrit $G^{(p)}(x)=\sum_{k=0}^{infini}a_kx^k$ pour $x$ strictement plus petit que 1 alors on a la même égalité en remplaçant $x$ par 1.
On montre alors par une dernière utilisation du théorème de convergence monotone (les coefficients de $G^{(p)} $étant eux aussi positifs) que $G^{(p)}$ est continue en 1.
Ainsi, grâce à (*),$ E( X..(X-p+1) 1_{X \geq k } ) $est finie.
Par récurrence, $E(X^p)$ est donc également finie

Est-ce que cela vous paraît correct?
Merci beaucoup à celui ou celle qui prendra le temps de regarder