Contre exemple somme et indépendance

Liedeberg · October 2018

Bonjour, je cherche un exemple de deux variables aléatoires discrètes, de lois respectives $\lambda$ et $\mu$, non indépendantes, et telles que la loi de leur somme soit égale à la loi de la somme de deux variables aléatoires de mêmes lois $\lambda$ et $\mu$ mais cette fois-ci indépendantes.

LOU16 · October 2018

Bonjour,
J'ai bricolé çà:
Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires uniformément réparties sur $\{1;2;3\}$ et dont la loi conjointe est définie par: $\forall i,j \in \{1;2;3\} , \:\: \Pr[(X=i)\cap (Y=j)] = A_{i,j}$ où $\:\:A = \dfrac1{9}\begin{pmatrix} 1&2&0\\0&1&2\\2&0&1\\ \end{pmatrix}$.
Alors $Z$ et $T$ étant deux variables aléatoires indépendantes uniformément réparties sur $\{1;2;3\}$, on observe que $X+Y$ et $Z+T$ ont la même loi de probabilité.
Amicalement,

P. · October 2018

J'arrive apres la bataille, avec a peu pres le meme exemple $X\sim Y$ uniforme sur $\{0,1,2\}$ et de loi jointe $\Pr(X=Y=i)=1/9$ pour $i=0,1,2,$, $\Pr(X=i,Y=i+1)=2/9$ avec $i$ modulo 3 et le reste nul.

J'ai cherche ce contre exemple en supposant $X$ et $Y$ uniforme sur $0,1,\ldots,n-1$ et donc la loi jointe multipliee par $n$ est une matrice bistochastique, qu'on represente comme un barycentre de matrices de permutations, et reste a trouver les bons barycentres.Par exemple pour $n=2$ le plus general consiste dans la matrice de LOU16 a remplacer $2$ par $1+t$ et $0$ par $1-t$ avec $0<t\leq 1.$

Liedeberg · October 2018

Merci beaucoup à tous les deux , je vais essayer de voir comment j’aurais pu trouver cet exemple seul

Liedeberg · November 2018

Bonjour, je viens de revenir sur ce contre exemple.
Je comprends votre raisonnement mais il y a un point sur lequel je voudrais une précision s’il vous plaît : étant donné une matrice $A=(a_{i,j})$de taille n*n telle que n*A est bistochastique, a-t-on toujours existence d’une loi conjointe (X,Y) où X et Y sont uniformes sur [1,n] et la loi de (X,Y) est donnée par A ? J’ai l’impression que oui en découpant $[0,1]^2$ d’abord en n "lignes" de hauteur 1/n et de largeur 1, puis sur la ième ligne je découpe n cases de hauteur 1/n comme la ligne et de largeur n*ai,j. J’appelle cette case $C_{i,j}$.
Enfin je définis X par X vaut u sur les cases Cu,i pour tout i et Y par Y vaut v sur Ci,v pour tout i.
Il me semble que X et Y vérifient la propriété voulue.

En fait j’ai l’impression que cet argument pourrait facilement être étendu pour montrer que : si A est une matrice n*n telle que la somme des coefficients de A vaut 1 alors il existe deux variables aléatoires X et Y à valeurs dans [1,n] telles que la loi de X est donnée par les lignes de A, la loi de B par les colonnes de A, et la loi conjointe par A.
En fait j’ai l’impression que ça marche même si on prend une matrice carrée infinie.

Tout cela est nouveau pour moi, est-ce que quelqu’un pourrait me confirmer que ce que je dis est juste s’il vous plaît ?

Merci beaucoup

Contre exemple somme et indépendance

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