Somme de variables aléatoires

Tu veux dire que $T=\sum_{i=1}^N T_i$ ? Il faut faire une hypothèse d'intégrabilité (ou de positivité) sur les $T_i$, sinon ça ne marchera pas.

Par exemple, si les $T_i$ sont intégrables, on a $|T|\le\sum_{i=1}^{+\infty} 1_{i\le T}|T_i|$, et avec Tonelli et en utilisant l'indépendance

$E|T|\le \sum_{i=1}^{+\infty} E[1_{i\le N}|T_i|]=\sum_{i=1}^{+\infty} E[|T_1|]P(i\le N)=E[N]E[|T_1|]<+\infty$, ce qui donne l'intégrabilité de $T$.