Combinatoire.
Salut à tous !
Salut à tous !
On a $r$ balles à placer dans $n$ boîtes.
Montrer que $P(A_{k}) = (1-\frac{k}{n})^r$ avec $A$ l’événement les boîtes $i_{1}, .., i_{k}$ sont vides.
J'ai essayé de modéliser la problème, soit $X_{i}$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles dans la boîtes $i$. Je pense que $X_{i}$ suit une loi binomiale.
On pourrait écrire $X_{i} = \sum_{k=1}^{r} X_{i,k}$ avec $X_{i,k}$ vaut 1 si la balle [tex]k[/tex] est dans la boîte $i$.
Mais je bloque sur le choix de l'univers et le calcul de probabilité de la Bernoulli.
Pouvez vous me donner un coup de mail s'il vous plaît ?
Salut à tous !
On a $r$ balles à placer dans $n$ boîtes.
Montrer que $P(A_{k}) = (1-\frac{k}{n})^r$ avec $A$ l’événement les boîtes $i_{1}, .., i_{k}$ sont vides.
J'ai essayé de modéliser la problème, soit $X_{i}$ la variable aléatoire qui compte le nombre de balles dans la boîtes $i$. Je pense que $X_{i}$ suit une loi binomiale.
On pourrait écrire $X_{i} = \sum_{k=1}^{r} X_{i,k}$ avec $X_{i,k}$ vaut 1 si la balle [tex]k[/tex] est dans la boîte $i$.
Mais je bloque sur le choix de l'univers et le calcul de probabilité de la Bernoulli.
Pouvez vous me donner un coup de mail s'il vous plaît ?
Réponses
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Avant de modéliser, il faudrait décrire l'expérience. Là, tu n'es pas très disert.
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Il te manque des hypothèses sur la façon dont tu mets les balles dans les boîtes : est-ce que tu les mets toutes dans la première boîte ? est-ce que la probabilité de mettre la balle n° $i$ dans la boîte n° $k$ est proportionnelle à $1/(27+i+k^2)$ ? sachant que la boîte numéro $4$ a reçu une balle, est-ce que tu t'autorises à mettre d'autres balles dans cette boîte ? On peut imaginer tellement de règles qui donnent des probabilités différentes !
Si on regarde ton résultat, on a bien envie de l'écrire $\dfrac{(n-k)^r}{n^r}$. En bas, on reconnaît le nombre d'applications de $\{1,\dots,r\}$ (qu'on pourrait utiliser pour numéroter les balles) vers $\{1,\dots,n\}$ (qu'on pourrait utiliser pour numéroter les boîtes). Cela suggère un univers et une façon de placer les balles dans les boîtes. En haut, on reconnaît quelque chose d'analogue. Tu termines ? -
Bonjour !
Dans mon livre (Durrett) il précise : Placer $r$ balles dans $n$ boîtes au hasard.
Effectivement, c'est important.
Merci Math Coss pour ton modèle. On peut modéliser l’expérience par les applications de ${1,...,r}$ dans ${1,..,n}$ et mettre la probabilité uniforme.
Dans ce cas l’événement $k$ boîtes sont vides, c'est regarder les applications de ${1,...,r}$ dans ${1,...,n-k}$.
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Bonjour!
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