Durées de communication

La variable aléatoire qui décrit le temps d'acheminement suit une loi exponentielle dont l'espérance est $3~\mathrm{ms}$ (de paramètre $1/3$, si on exprime le temps en millisecondes).

Comment le justifies-tu ?

Je m'attendais à lire une définition mathématique de la v.a. qui décrit le temps d'acheminement total en fonction des temps d'acheminement sur chaque ligne et d'une expression de l'espérance qui justifie l'additivité. Pourquoi est-ce que ce ne serait pas $1^3$ après tout ?

Tu renonces déjà ? Moi non plus je n'ai pas le cours sous les yeux mais je te propose d'essayer d'aider ton ami ensemble.

Comment parler des choses sans les nommer ? Commençons par donner quelques notations. On s'intéresse à la deuxième voie, celle des trois lignes. Pour $i$ entre $1$ et $3$, on appelle $T_i$ le temps d'acheminement sur le $i$-ème tronçon. Maintenant, on peut parler.

Le temps total d'acheminement est... et donc son espérance est... Idem pour la troisième voie. Cela confirme ce que tu as dit pour le calcul de l'espérance.

Bon, après une heure et quelque passée à tourner autour du pot, il faudrait s'attaquer à la vraie question, qui est la suivante.

Ce serait bien si tu pouvais compléter les points de suspension dans la phrase

Le temps total d'acheminement est... et donc son espérance est...

(ou la reformuler à ta guise) et si tu pouvais écrire une phrase complète pour la troisième voie.

Pour la deuxième question, je pense que tu vas un peu vite en besogne. Une loi exponentielle, ce n'est pas une loi constante égale à son espérance, n'est-ce pas ? Quelle est la probabilité que le temps d'acheminement soit supérieur à 5 ms par la première voie ? Ce n'est évidemment pas zéro. Quant à la deuxième voie, il y aura un vrai calcul à faire – après, si tu veux bien. Idem pour la troisième, mais je pense que ce sera plus facile.

Ce sont de bonnes questions.

Ah ! Des calculs !

D'accord pour les calculs d'espérance : pour le cas 2, c'est juste que le temps total est une somme de trois temps d'acheminement et que l'espérance est linéaire.

Pour le cas 3, la justification me semble un peu sous-minimale (mais l'énoncé aussi). J'introduirais une variable aléatoire $B$ pour décrire si on prend la route courte (disons que $B$ prend alors la valeur $1$ avec proba $1/2$) ou la route longue (valeur $0$ avec proba $1/2$). L'espérance de $B$ est $1/2$. « À tout hasard », on va supposer que cette variable est indépendante des variables aléatoires qui décrivent les temps d'acheminement sur chaque route. Alors le temps total est $BX_{\text{longue}}+(1-B)X_{\text{courte}}$ et son espérance est, en vertu de l'indépendance, $E(B)E(X_{\text{longue}})+E(1-B)E(X_{\text{courte}})=\frac12E(X_1)+\frac12E(X_{1/5})$, ce qui justifie ta formule.


D'accord pour la probabilité de dépasser 5 ms dans le cas 1. D'accord aussi pour le cas 3, avec les mêmes réserves que ci-dessus pour la justification. L'événement « le temps d'acheminement est $\ge5~\text{ms}$ » est la réunion disjointe des événement « $B=1$ et $X_1\ge5$ » et « $B=0$ et $X_{1/5}\ge5$ ». Comme on suppose que $B$ et les temps d'acheminement sont indépendants, on peut poursuivre : la probabilité du premier événement est $P(B=1)\times P(X_1\ge5)$ etc.

Pour le deuxième cas, je partage tes doutes. En fait, je n'y crois pas du tout. Certes, si les temps sur chaque tronçon sont supérieurs à $5/3$, on va dépasser les 5 ms mais on peut aussi bien mettre 1 ms sur le premier tronçon, 1.5 ms sur le deuxième et 4 ms sur le troisième, ça dépasse aussi.

Là encore, sous réserve de supposer que les temps d'acheminement sur les différents tronçons sont indépendants, la fonction de répartition de la somme des temps s'obtient par convolution, voir par exemple le § 3.3 de ce cours. Sauf erreur, on tombe sur une loi dite « loi gamma », voir par exemple le forum ou ce cours ou Wikipedia. Il va falloir travailler encore un peu...

C'est un exercice tres amusant. Pour la dermiere question methode 1 $\Pr(X>5)=e^{-5/3}=0,188,$ methode 3 $\Pr(X>5)=\frac{1}{2}(e^{-5}+e^{5/5})=0,186,$ methode 2 $\Pr(X>5)=\frac{1}{2}\int_{5}^{\infty}x^2e^{-x}dx$. Mais...pas besoin de table des gamma cher gerard0, car
comme on le voit par derivation
$$\frac{1}{2}\int_{\lambda}^{\infty}x^2e^{-x}dx=e^{\lambda}(1+\lambda+\frac{1}{2}\lambda^2)$$ D'ou la methode 2 est la meilleure car $\Pr(X>5)=0,124.$