Attente:nombre de piles soit double des faces

Bonjour,
Il me semble que cet énoncé figurait dans la rubrique "Questions - Réponses" d'un numéro de la R.M.S. qui date de quatre ou cinq ans. La résolution de ce problème qui m'avait paru très difficile m'avait demandé suffisamment d'énergie pour que je conserve sagement une trace de la solution que j'avais trouvée, qui utilise la "formule de réversion de Lagrange " appliquée aux séries formelles.
Dans un premier temps, je me contente d'indiquer, en espérant qu'elles sont exactes, les conclusions que j'avais atteintes:
$\forall n \in \N^* , \:\: A_n$ désigne l'évènement : $\:\text{ "A l'issue du $n$-ème lancer, pour la première fois, le nombre de "PILE" obtenus est le double de celui des "FACE" observés"}$.
On note également $q=1-p.\:\:$ Alors:
$$\forall n \in \N^*,\:\: \Pr(A_n) = 0,\:\text{ si}\: \:n \neq 0 \mod3\:\:\:\:\text {et} \:\:\Pr (A_{3n}) =\displaystyle{\dfrac2{3n-1}\binom {3n}n (p^2q)^n}$$.
$$ \displaystyle {\sum_{n=1}^{+\infty} \Pr(A_n) = \left\{ \begin{array} {cc} \dfrac32( p+1-\sqrt{1+2p-3p^2})& \text{si} \:\:0\leqslant p \leqslant \dfrac23\\ 3(1-p)& \text{si}\:\: \dfrac23\leqslant p \leqslant 1 \end{array} \right.}$$
Ainsi, $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ si et seulement si $p=\dfrac23$.
P.S. Cet énoncé n'était en fait pas présent dans la R.M.S., mais provient de l' "American Monthly".

Bonjour,
Voici donc quelques balises jalonnant la voie que j'ai suivie, qui fait usage de la " formule de réversion de Lagrange" (FRL) que je rappelle:

Soit $\: \mathcal S = \sum _{n\geq1} s_n X^n$ avec $ s_1=1\:$ . Alors: $\: \exists ! \mathcal T$ tel que $\mathcal S\circ \mathcal T =\mathcal T \circ \mathcal S = X$ et $\mathcal T = \sum_{n\geq1}t_nX^n $ où $ nt_n$ est égal au coefficient de $X^{n-1}$ dans la série $\big(\dfrac X{\mathcal S}\big)^n$.

Une "courte" preuve de FRL:
$\forall n \in \Z,\;\forall \mathcal U \in \Q((X))$ (corps des séries de Laurent à coefficients dans $\Q$), $\left[\:\mathcal U\:\right]_n$ désigne le coefficient de $X^n$ dans $\mathcal U$ et $\text{Res}(\mathcal U) : = \left[\:\mathcal U\:\right]_{-1}.$
Alors: $\boxed {\text{Res} (\mathcal U') =0}$. Dans $\Q((X))$, on déduit successivement les relations suivantes, valables pour tout $n$ dans $\N^*$:
$ X=(\mathcal T \circ \mathcal S ) \implies\mathcal S^{-n} = (\mathcal T'\circ \mathcal S) \mathcal S' \mathcal S^{-n}= \displaystyle{ \sum _{k \geq1} k t_k \mathcal S^{k-1-n}\mathcal S' = nt_n \mathcal S^{-1}\mathcal S'+\sum_{k\in \N^*\setminus \{n\}}\left( kt_k \dfrac{ \mathcal S^{k-n}}{k-n}\right)' }$. En comparant les "résidus":
$\text{Res}( \mathcal S^{ -n}) = \text{Res} (nt^n\mathcal S^{-1} \mathcal S')+0 $, ce qui aussi s'écrit: $\boxed{ nt_n =\left[\left(\dfrac X{\mathcal S}\right)^n\right]_{n-1}}$.

Revenons au problème de probabilité en conservant les notations antérieures et en en introduisant de nouvelles:
$\forall n \in \N^*\: \: a_n :=\text {card}\left\{ \varepsilon \in \{0,1\} ^{3n} \mid \forall k \in [\![1,n-1]\!]\:\: \displaystyle{\sum_{i=1}^{3k} \varepsilon_i \neq 2k \:\:\text{et}\:\: \sum _{i=1}^{3n}\varepsilon_i = 2n}\right \}$ et $\:b_n := \text{card} \left\{ \varepsilon \in \{0,1\}^{3n} \mid \displaystyle { \sum_{i=1}^{3n} \varepsilon_i = 2n}\right\}$.
On définit les éléments $\mathcal A$ et $\mathcal B$  par $\mathcal A:=\sum_{n\geq1} a_nX^n $ et $ \mathcal B: =\sum _{n\geq 1} b_n X^n$.

Alors: $\Pr (A_{3n}) = a_n (p^2q)^n,\:\: b_n = \binom {3n}n,\:\:\forall n \in \N^*,\: b_n = \displaystyle{\sum_{k=1}^na_kb_{n-k}},\:\:$ avec $b_0=1\:$ et $\:\:\mathcal B = \mathcal A\times B+1$
Soient enfin $\mathcal S$ la série formelle $\mathcal S = X - X^3 $ et $\mathcal T$ la série réciproque de $\mathcal S:$ $\:\:\:\mathcal T\circ \mathcal S =\mathcal S\circ \mathcal T = X$ et on a $\mathcal T- \mathcal T^3 =X \:\:\:(\star)$.
La FRL s'applique de manière agréable dans ce cas et aboutit à: $\mathcal T =\sum _{n\geq0} \dfrac 1 {2n+1}\binom{3n}n X^{2n+1}$. Il vient:
$ \dfrac 1 {1-3\mathcal T^2}= \dfrac1 {\mathcal S' \circ \mathcal T}= \mathcal T' =1+\mathcal B(X^2) \:$ d'où $ 3 \mathcal T^2 = \mathcal A(X^2)$, puis avec $(\star): \: \dfrac{\mathcal A(X^2)}3\big(1- \dfrac{\mathcal A(X^2)} 3\big)^2 =X^2 $ qui entraine que la série $\dfrac {\mathcal A}3$ est la série réciproque de $\mathcal U := X(1-X)^2$. En appliquant à nouveau la FRL, on obtient: $\boxed{ \Pr (A_{3n}) = a_n(p^2q)^n = \displaystyle \dfrac2 {3n-1} \binom {3n}n (p^2q)^n}$
Notons $\Pi = \displaystyle{ \sum_ {n=1}^{+\infty} \Pr(A_{3n}) = \sum _{n=1}^{+\infty} a_n(p^2q)^n = \mathcal A(p^2q)}$. La relation $\dfrac { \mathcal A}3\big(1-\dfrac {\mathcal A}3\big)^2 = X$ entraine alors: $\dfrac {\Pi}3 \big(1-\dfrac {\Pi}3\big)^2= p^2q= q(1-q)^2$ .
Ainsi $\frac {\Pi}3 $ et $q$ ont la même image par la fonction $ f: x \mapsto x(1-x)^2$ définie sur $[0;1]$
On a: $\forall x \in [0;1],\: f(x) = f(q) \iff(x-q)\big(x^2 -(p+1)x +p^2\big)=0$. En examinant les variations de cette fonction et en prenant en compte le fait que $ 0\leqslant \frac{\Pi}3 \leqslant\frac 13$, on parvient à l'expression de $\Pi$ que j'ai donnée dans le précédent message.