Monte Carlo
Bonjour,
J'ai un problème sur la méthode Monte Carlo. Concrètement elle repose sur la loi forte des grands nombres qui dit (en gros) que pour tout \omega, 1/n Somme X_i(\omega)=E(X).
Ce que je ne comprends pas c'est que lorsqu'on utilise la méthode MC, on fait un tirage des X_i ce qui nous donne :
1/n Somme X_i ( \omega_i). On ne peut pas savoir que ces tirages proviennent du même \omega. Et donc on n'est pas dans le cas de la loi des grands nombres.
Pourriez vous m'expliquer ?
Je vous remercie d'avance.
J'ai un problème sur la méthode Monte Carlo. Concrètement elle repose sur la loi forte des grands nombres qui dit (en gros) que pour tout \omega, 1/n Somme X_i(\omega)=E(X).
Ce que je ne comprends pas c'est que lorsqu'on utilise la méthode MC, on fait un tirage des X_i ce qui nous donne :
1/n Somme X_i ( \omega_i). On ne peut pas savoir que ces tirages proviennent du même \omega. Et donc on n'est pas dans le cas de la loi des grands nombres.
Pourriez vous m'expliquer ?
Je vous remercie d'avance.
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Réponses
En fait dans ce cas-là on peut prendre pour $\Omega$ l'ensemble des suites réelles et pour une suite $\omega$ on a $X_i(\omega)$ qui vaut le $i$-ème terme de la suite, donc le $i$-ème tirage. Si jamais c'est clair pour toi alors... tu peux tout oublier car en pratique on ne s'occupe jamais de savoir ce qu'il y a caché dans $\Omega$ (c'est le grand intérêt de l'approche abstraite des probas initiée par Kolmogorov).
A part ça quand tu dis "pour tout \omega, 1/n Somme X_i(\omega)=E(X)" c'est un peu exagéré, il s'agit d'une limite quand même, c'est pas vrai pour tout $n$!
Ben, oui, dans la vraie vie, quand tu fais un tirage, tu as des $x_i$ qui sont fixés, et la loi forte des grands nombres ne te dit pas que dans la vraie vie, tes moyennes vont vraiment converger vers l'espérance. La loi forte des grands nombres te dit que dans la situation idéalisée du monde des probas où tu supposes que tes $x_i$ sont en fait les $X_i$ d'un même $\omega$, alors presque sûrement, tu as convergence. Bref, tu as raison, on ne sait pas que ces tirages proviennent du même $\omega$ : c'est une hypothèse qu'on fait !
George Abitbol : je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi. Moi je dirais qu'on est sûr que tout vient du même $\omega$, par contre la "situation idéalisée" vient des hypothèses que l'on fait (surtout l'indépendance qui ne se produit pas forcément dans la vraie vie).
Mais bon, puisqu'il s'agit de modélisation, la débat est sans fin et il n'y a pas de réponse mathématique définitive.
je vous remercie pour vos réponses. J'ai mis du temps à répondre car je voulais continuer à réfléchir à la question. L'hypothèse dont tu parles lorsque l'on réalise la méthode de Monte Carlo, ne s'agit-il pas de l'hypothèse d'ergodicité ?
Ce que je veux dire, c'est que je pense que les variables aléatoires, et le $\Omega$, sont de complètes créations de l'esprit.