De l'intégration aux probabilités...

Thierry Poma
Thierry Poma
dans Probabilités, théorie de la mesure
Bonjour,

Dans le livre intitulé "De l'intégration aux probabilités" de Olivier Garet et Aline Kurtzmann, j'avoue avoir beaucoup de mal à comprendre le lemme 11.4.3, page 280, ainsi que sa démonstration. $\mathcal{M}$ étant une famille de mesures sur $\R^d$, j'ai du mal à voir ce que représentent $\pi_k^{-1}\,\mathcal{M}$ et $\pi_k^{-1}\mu(\pi_kK)$, où, pour tout entier $1\leqslant{k\leqslant{d}}$, $\pi_k:\R^d\to\R$ est la projection canonique et $K\subset\R^d$ un compact.

Où trouver une démonstration du théorème 11.4.4 dans le cas général ?

Merci par avance.

Amicalement,

Thierry
Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).

Réponses

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    Je regarde ça.
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    Bon, alors effectivement on a utilisé la notation $f^{-1}\mu$ alors que dans le reste du livre on a écrit $\mu_f$ pour la mesure image de $f$ par $\mu$. Quant à $\pi_kK$, évidemment, il faut le comprendre comme $\pi_k(K)$.

    Une autre manière de rédiger les choses, c'est de noter $X$ l'application identité, de pose $X_k=\pi_k(X)$, puis d'appliquer le formalisme probabiliste. Ainsi $\mathcal{M}_{\pi_k}$ est la loi de $X_i$ sous $\mathcal{M}$.

    On a alors les inclusions $\{X\in K\}\subset\{X_k\in\pi_k(K)\}$ et, lorsque $K$ est le produit des $K_i$,
    $\{X\not\in K\}=\cup_{i=1}^d \{X_i\not\in K_i\}$.

    Merci de me dire si tu crois que c'est mieux avec le formalisme probabiliste (on est en train de terminer la 2e édition).81792
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    aléa
    On trouve par exemple la preuve de 11.4.4 dans Billingsley: Probability and Measure, section 29.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir Aléa,

    Je te remercie pour ta réponse détaillée. C'est en effet bien plus clair maintenant, écrit de la sorte. J'aurais dû penser au concept de mesure image, mais les notations m'ont complètement perdu. Je suis stupide.

    Dans la deuxième édition, il serait bien de prévoir la démo générale du 11.4.4, car je ne possède pas le livre de Billingsley (je serai le premier, voire l'un des premiers à acheter la nouvelle édition !). Si tu as le temps, voudrais-tu me l'écrire s'il te plait, ou du moins, m'en donner les pistes ? Je te remercie par avance.

    Amicalement,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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    C'est trop long pour être intégré dans la 2e édition, et ça sort un peu de notre objectif principal.
    Je te donne les grandes lignes de la preuve de Billingsley.
    En procédant comme en dimension 1, le procédé diagonal d'extraction donne un candidat pour la fonction de répartition généralisée.
    Pour montrer que cette fonction de répartition généralisée définit bien une mesure (comme en dimension 1), Billingsley construit une mesure sur l'algèbre des pavés, puis l'étend via le théorème d'extension de Carathéodory.

    Ce dernier théorème est un des rares théorèmes que nous avons choisi d'admettre; la preuve fait en effet appel au concept de mesure extérieure, que nous n'avons pas souhaité introduire.
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