Martingales.

B2Olomophe · November 2018

Salut à tous !

J'ai lu un théorème sans preuve : (Avec les abus de notation usuelle)
Soit $X_{n}$ une sMG (resp MG, SMG)
Posons $Y_{n} = X_{T_{n}}$ avec $T_{n}$ une suite croissante de temps d'arrêt finis et supposons que :
1) $\forall n\ge 1,\ E|Y_{n}| < +\infty $
2) $\forall n \ge 1,\ \lim_{N \rightarrow +\infty} \inf E(1_{T_{n} > N} |X_{N}|) = 0$
Alors $Y_{n}$ est une sMG (resp MG, SMG).

Je vois l'utilité du théorème, surtout que j'ai des exercices où l'utilisé. Cependant, j'aimerais lire un ouvrage qui explique la preuve. Peut-être les ouvrages de bases ont des énoncés équivalent à celui là, l'hypothèse 2) fait penser à de l'UI mais n'en est peut-être pas... Bref ma question est : Dans [quels] ouvrages consulter pour avoir une belle preuve de ce théorème ? Et si le théorème est impliqué par un théorème de votre ouvrage pouvez-vous justifier s'il vous plaît.

Par exemple il y a un théorème dans le Durrett qui lui ressemble, mais l'équivalence ne me saute pas au yeux.

Poirot · November 2018

Et si tu essayais de le démontrer ? L'intégrabilité et le caractère adapté sont évidents. Il ne reste qu'à justifier la partie concernant $$\mathbb E(Y_{N+1} \mid \mathcal F_N).$$

B2Olomophe · November 2018

Attention ! Le théorème n'était pas complet ! J'ai modifié.

B2Olomophe · November 2018

Salut Poirot !

Ca y'est j'ai corrigé ma version du théorème, je serai ravi que vous m'aidiez à le prouver.

Pour nous faciliter la vie, je vais vous écrire un théorème qui lui ressemble et que je connais ! Peut être pourrions nous partir de ce dernier afin de prouver mon résultat (ou peut être bien que non, je vous suit !) :
Soit $X_{n}$ une MG et on suppose :
1) $P(T < +\infty) = 1$
2) $E(|X_{T}|) < +\infty$
3) $lim_{n->+\infty} E[1_{T>n}X_{n}] = 0$
Alors $E(X_{T}) = E(X_{0})$

B2Olomophe · November 2018

Ok alors j'ai même mieux, si $T_{n}$ est une suite de temps d'arrêt bornée croissant alors $(X_{T_{n}},F_{T_{n}})$ est une MG.
A présent il me reste plus qu'à comprendre comment les hypothèses jouent un rôle pour passé de bornés à finis ps.

B2Olomophe · November 2018

Bon j'ai peut-être une preuve ! Je vous montre.

B2Olomophe · November 2018

Bon je supprime la démo vu que tout le monde s'en fou.

B2Olomophe · November 2018

Voilà voilà en attente de validation !

aléa · November 2018

Je n'ai pas lu ta preuve; voici comment je ferais.
Il s'agit de comparer $E[Y_{n+1}1_A]$ et $E[Y_{n}1_A]$, avec $A$ dans $\mathcal{F}_{T_n}$.

Avec le théorème de Fubini, tu peux écrire $E[Y_{n+1}1_A]$ comme la somme double $\sum_{k,\ell} E[Y_{n+1}1_A1_{T_n=k,T_{n+1}=\ell}]$, de même $E[Y_{n}1_A]$ comme la somme double $\sum_{k,\ell} E[Y_{n}1_A1_{T_n=k,T_{n+1}=\ell}]$.
Je serais étonné que ça ne permette pas de conclure simplement.

Martingales.

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