Espérance quadratique d'une v.a.
Bonsoir à tous,
je dispose d'une variable aléatoire de carré intégrable $X$ et j'aimerais démontrer que
$E(X^2)=2\int_0^{+\infty} t p(|X| \geq t) dt$
J'ai essayé de bricoler en effectuant une IPP et j'obtiens ce résultat dans le cas où la loi de $X$ est une loi à densité paire. J'aimerais savoir s'il est possible partant de ce résultat de le généraliser.
Bonne soirée
F.
je dispose d'une variable aléatoire de carré intégrable $X$ et j'aimerais démontrer que
$E(X^2)=2\int_0^{+\infty} t p(|X| \geq t) dt$
J'ai essayé de bricoler en effectuant une IPP et j'obtiens ce résultat dans le cas où la loi de $X$ est une loi à densité paire. J'aimerais savoir s'il est possible partant de ce résultat de le généraliser.
Bonne soirée
F.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Soit $X$ une v.a. positive et $f:\mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ une fonction croissante de classe $C^1$ alors on a $$E(f(X))=f(0)+\int_{0}^{+\infty} f'(t)P(X>t)dt.$$
Pour la preuve il suffit de prendre l'espérance d'une quantité bien choisie pour lui appliquer le théorème de Fubini-Tonelli...
je peine par contre à bien choisir cette fameuse quantité ;-)
Bonne soirée
F.
Je parviens à démontrer la formule donnée par Krokop, dans le cas où $X$ est une v.a. continue (i.e. dont la loi est une loi à densité). Dans ce cas l'hypothèse sur la croissance de $f$ ne me semble pas nécessaire.
Je bute par contre pour retrouver le cas général.
Bonne soirée
F.
Tu appliques l'espérance à $$f(X(\omega))=f(0)+\int_{0}^\infty f'(t)1_{\{X(\omega)\ge t\}}dt$$ +Tonelli-Fubini.
Du coup l'hypothèse de croissance sert à pouvoir appliquer Tonelli-Fubini sans problèmes, la fonction $f'(t)1_{\{X(\omega) \geq t\}}$ étant positive ?
Merci et bonne soirée
F.
E(X)=\int_0^{+\infty} p(X \geq t)dt
$$ n'est valable que pour les v.a. positives ?
Bonne journée
F.